D336 – Le cornet de glace [* à la main]
Un cornet de glace a la forme d’un cône de révolution.
Posé sur un table, il peut contenir selon la figure ci-contre:
- soit une balle de ping-pong qui est tangente à sa paroi latérale et au plan de la table.
- soit un rond de serviette qui a la forme d’un cylindre de même axe de révolution inscrit dans le cône et qui a même hauteur et même volume que la balle.
On sert le cornet avec la plus grosse boule de glace tangente à la paroi du cornet. Un litre de glace permet de servir 30 cornets.
Déterminer les dimensions du cornet (au mm le plus proche)
Solution proposée par Daniel Collignon
Les longueurs seront exprimées par défaut en dm (*).
Notations :
t = demi-angle du cône tel que 0<t<pi/2 l, h, R = longueur, hauteur, rayon du cône r = rayon du rond de serviette cylindrique
p = rayon de la balle de ping-pong (demi-hauteur du rond de serviette cylindrique) g = rayon de la plus grosse boule de glace
Nous avons alors les relations suivantes :
- 30*(4/3)*pi*g^3 = 1 (* avec 1 litre = 1 dm^3), d'où g^3 = 1/(40*pi)
- (4/3)*pi*p^3 = pi*r²*(2p) (le rond de serviette a même volume que la balle), d'où r = p*sqrt(6)/3 - R = g*cos(t)
- h = l*cos(t)
- tan(t) = r/(l*cos(t)-2p) = p/((l*cos(t)-p)*cos(t)) = g/l
La dernière série d'égalités permet de déduire : l = g/tan(t)
p = sin(t)*(l*cos(t)-p)), d'où p = g*(1-sin(t))
sqrt(6)*cos(t) = 3(1-sin(t)) => 2*(1-sin²(t)) = 3(1-sin(t))² => (5X-1)(X-1)=0 avec X=sin(t) => X=1/5 ou 1.
D'où sin(t)=1/5 (on écarte la valeur 1 puisque t<pi/2), et alors cos(t) = 2sqrt(6)/5, tan(t) = sqrt(6)/12 Application numérique en arrondissant au mm le plus proche : l ~ 98 mm, h ~ 96 mm et 2R ~ 39 mm (des valeurs tout à fait réalistes !)
