Il s’agit donc ici de déterminer la hauteur du cône et le rayon de sa base.
D’après mes recherches, le rayon d’une balle de ping-pong a un rayon de 2 cm. Nous partirons donc sur ce principe.
Je propose une version analytique de ce problème.
𝑥𝐸2+ (𝑦𝐸− 2)2= 4 (1)
𝑦 =𝑦𝐸− 𝑦𝐶
𝑥𝐸− 𝑥𝐶. 𝑥 −𝑦𝐸− 𝑦𝐶
𝑥𝐸− 𝑥𝐶. 𝑥𝐶 + 𝑦𝐶
𝑦 =𝑦𝐸− 4
𝑥𝐸− 𝑅. 𝑥 −𝑦𝐸− 4 𝑥𝐸− 𝑅. 𝑅 + 4
𝑦 = 𝑦𝐸− 𝑦𝐴
𝑥𝐸− 𝑥𝐴. 𝑥 −𝑦𝐸− 𝑦𝐴
𝑥𝐸− 𝑥𝐴. 𝑥𝐴+ 𝑦𝐴
𝑦 = 𝑦𝐸− 2
𝑥𝐸 . 𝑥 + 2 Nous nous plaçons dans le repère ci-contre.
Le but, dans un premier temps, est de déterminer les coordonnées du point E, ainsi que le rayon du cylindre correspondant au rond de serviette.
Le point E appartient au cercle de centre A et de rayon 2cm, donc on a :
Equation de la droite (CE) :
Avec : 𝑦𝐶 = 4
et posons 𝑅 = 𝑥𝐶 le rayon du cylindre du rond de serviette.
On obtient donc comme équation de la droite (CE) :
Equation de la droite (AE) :
Avec 𝑥𝐴= 0 𝑒𝑡 𝑦𝐴= 2 on obtient :
Le cercle de centre A et de rayon 2 est tangent à l’apothème du cône au point E, par conséquent, on a : (𝐴𝐸) ⊥ (𝐶𝐸) Le produit des coefficients directeurs des deux droites est donc égale à -1 . de sorte que :
𝑦𝐸− 2
𝑥𝐸 ×𝑦𝐸− 4 𝑥𝐸− 𝑅= −1 Je passe les détails des calculs, on obtient :
𝑅. 𝑥𝐸= 8 − 2𝑦𝐸 Soit :
𝑥𝐸=8 − 2𝑦𝐸 𝑅 (2) Remplaçons cette valeur de 𝑥𝐸 dans l’équation (1) du cercle :
(8 − 2𝑦𝐸
𝑅 )
2
+ (𝑦𝐸− 2)2= 4
Je passe encore une fois le détail des calculs, mais on obtient l’équation d’inconnue 𝑦𝐸 : (4 + 𝑅2). 𝑦𝐸2− (32 + 4𝑅2). 𝑦𝐸+ 64 = 0 Le discriminant de cette équation est :
∆= (32 + 4𝑅2)2− 256. (4 + 𝑅2) Après simplification :
∆= 16𝑅4= (4𝑅2)2 On obtient donc 2 solutions :
𝑦𝐸1=32 + 4𝑅2+ 4𝑅2 8 + 2𝑅2 = 4 Solution à proscrire car la position de E dépend de celle du rayon !
Deuxième solution :
𝑦𝐸= 32 8 + 2𝑅2
Remplaçons maintenant cette valeur de 𝑦𝐸 dans (2) pour exprimer 𝑥𝐸 en fonction de R : 𝑥𝐸 =8 − 2𝑦𝐸
𝑅 = ⋯ = 8𝑅 1 + 2𝑅2
Substituons maintenant les valeurs obtenues de 𝑥𝐸 et 𝑦𝐸 dans l’équation du cercle (1), on a alors : (8𝑅)2
(1 + 2𝑅2)2+ ( 32 8 + 2𝑅2)
2
= 4 Je passe à nouveau le détail des calculs, mais on obtient finalement :
(4 + 𝑅2)2= (1 + 2𝑅2)2 De sorte que :
4 + 𝑅2= 1 + 2𝑅2 Et finalement :
𝑅 = √3
De sorte qu’on obtient :
𝑥𝐸 = 8𝑅
1 + 2𝑅2=8√3 7 Et :
𝑦𝐸= 32
8 + 2𝑅2=16 7 Reprenons maintenant l’équation de la droite (CE) avec ces valeurs :
𝑦 = 𝑦𝐸− 4
𝑥𝐸− 𝑅. 𝑥 −𝑦𝐸− 4 𝑥𝐸− 𝑅. 𝑅 + 4 Pour la dernière fois, je passe les détails des calculs, mais on obtient :
𝑦 = −4√3𝑥 + 16 Par conséquent :
La hauteur du cône de glace est de 16 cm
Le rayon de la base du cône vérifie : −4√3𝑥 + 16 = 0 soit 𝑥 =4√33 ≈ 2,3𝑐𝑚 Remarque :
Le fait de savoir que le volume du rond de serviette est égal au volume de la balle de ping-pong n’a aucun intérêt.
Le fait de savoir qu’un litre de glace permet de faire 30 cornets n’a non plus aucun intérêt, d’autant plus que d’après mes calculs, selon l’énoncé, le rayon d’une boule de glace correspond à celui de la balle de ping-pong….Autrement dit, dans ce cas, la glace est dans le cornet !
