Solution de la même question 345

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Solution de la même question 345

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 16 (1857), p. 10-11

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SOLUTION DE LA MÊME QUESTION 345

PAR M. P . R . , Élève du lycée Bonaparte.

Soit

/ ( . r ) = Ao.»""-+- A,.r^-' -h. . .-j-Am__, .r-f- Am == O

le polynôme proposé. A" étant un nombre entier quel- conque, de môme que A', on suppose que

/ ( o ) = Am= 2 * 4 - i ,

/ ( i ) = A . H - A , + . . . + AB. , + Aa= 2 / ' -h i .

Aucun nombre /? entier mis à la place de x ne satisfait à l'équation

/ ( x ) = o.

En effet, effectuons la sub8titulion. Il vient

À, />* + A, y;"

¹

-

¹

-h A

³

/>*-' + . . . 4- A„_, ^ + A

^a

.

(3)

Si p est pair, tous les termes le sont, à l'exception de Am, donc la somme algébrique de ces termes n'est pas nulle.

Si p est impair, la somme des termes

( i ) Ao Pm - h A , pm-» - 4 - . . . -+• A ^ t p

est encore paire. Car

ƒ ( l ) - ƒ ( o ) = 2 * - 2 X ' = 2 ( * - k').

Donc le n o m b r e des coefficients impairs de (i) est p a i r . Donc leur somme algébrique est paire. La somme algé- brique des termes de (i) à coefficients pairs est encore p a i r e . Donc enfin le polynôme (i) est p a i r , e t , p a r s u i t e , le polynôme

Ao//" -+- A, pm~l + . . . - + - Am_, p H- Am

n'est pas n u l , puisque Am est i m p a i r .