Problème proposé par Jean Moreau de Saint Martin On considère la suite xn définie par:
avec x₀ = , x₁ = et x₂ = Q₁ Calculer les valeurs exactes de x₃, x₄ et x₅.
Q₂ Quand n tend vers l'infini calculer la limite de la suite xn .
Nota: Le recours à un automate n'est pas interdit, mais avec modération pour ne pas se laisser griser
2024=2018+6, 12119=6*2018+11, 22204=11*2018+6, 12108=6*2018, donc xn+1= 2018(1-6/xn+11/xnxn-1-6/xnxn-1xn-2)+6-11/xn+6/xn-1xn
On calcule que 6/x0= 83*97/7*199=8051/1393 ; (11-6/x0)/x1=1212/251 donc 6-11/x1+6/x0x1=294/251=x2. Donc, par récurrence, si xn=6-11/xn-1+6/xn-1xn-2 , 6/xn+11/xnxn-1-6/xnxn-1xn-2=1 : l’expression en facteur du coefficient 2018 reste nulle, et xn+1= 6-11/xn+6/xn-1xn .
Q1 : x0=8358/8051, x1=1506/1393, x2 =294/251 ; on peut alors calculer x3=6-(11-6/x1)/x2=6-(11-1393/251)*251/294=6-1368/294=66/49 x4=6-(11-6/x2)/x3=6-(11-251/49)*49/66=6-288/66=18/11
x5=6-(11-6/x3)/x4=6-(11-49/11)*11/18=6-4=2 x6=6-(11-6/x4)/x5=6-(11-11/3)/2=6-11/3=7/3...
Q2 : On peut voir aisément à l’aide d’un tableur que xn+1= 6-11/xn+6/xn-1xn
converge rapidement par valeurs inférieures vers la limite 3, tandis que si l’on avait directement traité la formule initiale, les erreurs d’arrondis sur la parenthèse facteur de 2018 aurait fait diverger le calcul et fait croire à une limite égale à 2018.
En fait, x4-2024x3+ 12119x2-22204x+12108=(x-1)(x-2)(x-3)(x-2018).
Avec x0, x1, x2 quelconques, la relation converge en général vers 2018, mais un choix judicieux des valeurs initiales (comme le cas trivial x0=x1=x2=1 qui donne xn=1) peut la faire converger vers 1 , 2 ou 3...
