Problème proposé par Dominique Roux
Ce problème est le premier épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?
On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.
On numérote les droites (AB) , (BC) , (CD) , (DA) par respectivement (1) , (2) , (3) , (4).
On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1 , M2 , M3 , M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).
Q₁ Montrer que si (ABCD) est un carré, il admet une infinité de carrés inscrits.
Q₂ On suppose que (ABCD) admet 2 carrés inscrits (M1 M2 M3 M4) et (M'1 M'2 M'3,M'4) orientés dans le même sens. Montrer qu'alors (ABCD) admet une infinité de carrés inscrits.
Un carré est un quadrilatère dont les diagonales sont égales, perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Si z1, z2, z3, z4 sont les affixes des sommets M1, M2, M3, M4 d’un carré (lus dans le sens trigonométrique), nous avons z1+z3=z2+z4 et z4-z2=i(z3-z1).
Q1 : Si (ABCD) est un carré dont les sommets ont pour affixes a, b, c, d, soit pour tout 0<λ<1, M1(λ) le barycentre de A et B affectés des coefficients λ et 1-λ, et de même M2(λ), M3(λ), M4(λ) pour les points B et C, C et D, D et A.
Nous avons z1(λ)=λa+(1-λ)b, z2(λ)=λb+(1-λ)c, z3(λ)=λc+(1-λ)d, z4(λ)=λd+(1-λ)a, donc z1+z3=λ(a+c)+(1-λ)(b+d), z3-z1=λ(c-a)+(1-λ)(d-b),
z2+z4=λ(b+d)+(1-λ)(c+a), z4-z2=λ(d-b)+(1-λ)(a-c).
Or a+c=b+d, donc z1+z3=z2+z4, et d-b=i(c-a) donc z4-z2=i(z3-z1) : pour tout 0<λ<1, (M1(λ)M2(λ)M3(λ)M4(λ)) est un carré inscrit dans (ABCD)
Q2 : De la même façon, si (M1 M2 M3 M4) et (M’1M’2M’3M’4) sont deux carrés inscrits, avec les affixes respectives de leurs sommets z1, z2, z3, z4, et z’1, z’2, z’3, z’4, on peut, pour tout 0<μ<1 et i=1, 2, 3, 4, définir les points Ni (μ) d’affixe ti=μzi+(1-μ)z’i : alors
t1+t3=μ(z1+z3)+(1-μ)(z’1+z’3), t3+t1=μ(z3-z1)+(1-μ)(z’3-z’1) t2+t4=μ(z2+z4)+(1-μ)(z’2+z’4), t4+t2=μ(z4-z2)+(1-μ)(z’4-z’2) or z2+z4=z1+z3 et z’2+z’4=z’1+z’3 donc t2+t4=t1+t3 et
z4-z2=z3-z1 et z’4-z’2=z’3-z’1 : t4-t2=t3-t1 : pour tout 0<μ<1, (N1(μ) N2(μ) N3(μ) N4(μ)) est un carré inscrit dans (ABCD).
