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1. Montrons par r´ecurrence la propri´et´e P(k): 3k+1 divise 23k + 1 (pour k > 0). C’est imm´ediat pourk = 0. De l’identit´e a3+ 1 = (a+ 1)((a+ 1)2−3a) on d´eduit, pourk >1, que si 3k divise a+ 1 alors 3k+1 divise a3+ 1. Il en r´esulte que P(k−1) entraine P(k).
On a montr´e que pourN = 3k, 3N divise 2N + 1.
2. Posons nk = 2×3k. Montrons que nk+2 divise 22nk+ 2 (pour k>0). Il est imm´ediat que 2 divise 22nk+ 2. D’apr`es la question 1 on peut ´ecrire: 2nk = (23k)2 = (−1 +x×3k+1)2 = 1 + y×3k+1 avec de plus y impair. On en d´eduit: 22nk = 21+y×3k+1 = 2×(23k+1)y = 2(−1 +z×3k+2)y = 2(−1 +t×3k+2) donc 3k+2 divise 22nk + 2. On a montr´e que pour n = 2×3k et N = 2n, 9n divise 2N + 2.
3. Soit N = 2n; recherchons p premier impair qui divise 2N + 3N + 5N pour tout n > 0.
Pour n = 1, p doit diviser 4+9+25=38 donc n´ecessairement p = 19. V´erifions que 19 convient. Notons Enl’ensemble des restes modulo 19 pour {2N,3N,5N}, (N = 2n). Pour n = 1 on obtient E1 ={4,9,6}; pour n= 2, en ´elevant au carr´e: E2 ={−3,5,−2}. Puis en ´elevant `a nouveau au carr´e: E3 =E1. Comme 4 + 9 + 6 = 19 et −3 + 5−2 = 0 sont divisibles par 19, 19 divise 2N + 3N + 5N pour tout n > 0. Puisqu’il est pair, ce nombre est aussi divisible par 38 pour tout n >0.
4. Plus g´en´eralement soit a et b deux entiers tels qu’il existe un nombre premier impair p v´erifiant: p divisea−b, p2 ne divise pasa−b et pne divise pasb. Alors pour toutn >0 et N = 2n, aN −bN n’est pas un carr´e. En effet, de a =b+cp on d´eduit par la formule du binˆomeaN =bN+N bN−1cp+dp2. Par suite,aN−bN est divisible parpmais pas par p2 puisque p ne divise niN, ni bN−1, ni c(sinon p2 diviserait a−b). aN −bN n’est donc pas un carr´e. On l’applique `aa= 8, b= 5 et p= 3.
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