A559 – La saga de la somme des carrés (2ème épisode) [*** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
Q1 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs puisse être un carré parfait?
Q2 : Combien existe-t-il d'entiers n tels que la somme des carrés de n entiers consécutifs ne soit jamais un carré parfait?
Solution proposée par Paul Voyer
Q1
Pour quelles valeurs de n existe-t-il n carrés parfaits consécutifs dont la somme est un carré parfait ?
Soient les entiers m+1 à m+n.
La somme des carrés de m+1 à n est égale à
6
) 1 2 )(
1 ( 6
) 1 2 2 )(
1
(
n m n m n m m m
m
=(1/3)[(x+n)((x+n)²-1/4)-x(x²-1/4)] avec x=m+1/2
=(1/3)[(x+n)³-x³-n/4]=(n/3)[(x+n)²+x(x+n)+x²-1/4]
S²=(n/3)[(n²-1)+3xn+3x²+3/4] ok
S²-xn²-nx²-n/4=n(n-1)(n+1)/3 ok
4S²-4xn²-4nx²-n-n(n-1)(n+1)= n(n-1)(n+1)/3 4S²-4xn²-4nx²-n-n³+n= n(n-1)(n+1)/3 soit
(2S)²-n(m+1+n)²= n(n-1)(n+1)/3 On reconnaît une équation de Pell-Fermat.
Exemples
n=1 trivial n=2 3²+4²=5²
m=0, n=24, S=70 ; 1²+2²+3²+…+24²=4900=70²
m=-4, n=11, S=11 ; (-4)²+(-3)²+(-2)²+(-1)²+0²+1²+2²+3²+4²+5²+6²=121=11² m=18, n=11, S=77 ; 18²+19²+20²+21²+22²+23²+24²+25²+26²+27²+28²=5929=77²
Les premiers nombres n sont listés dans https://oeis.org/A001032/b001032.txt
1, 2, 11, 23, 24, 26, 33, 47, 49, 50, 59, 73, 74, 88, 96, 97, 107, 121, 122, 146, 169, 177, 184, 191, 193, 194, 218, 239, 241, 242, 249, 289, 297, 299, 311, 312, 313, 337, 338, 347, 352, 361, 362, 376, 383, 393, 407, 409, 431, 443, 457, 458, 479, 481, 491, 506, 529, 537, 539, 554, 568, 577, 578, 587, 599, 600, 625, 649, 673, 674, 698, 722, 753, 767, 793, 794, 841, 856, 863, 864, 866, 887, 897, 913, 914, 961, 971, 983, 1009, 1019, 1041, 1048, 1058, 1067, 1079, 1081, 1082, 1129, 1144, 1153, 1163, 1175, 1199, 1201, 1202, 1225, 1226, 1248, 1249, 1257, 1274, 1298, 1307, 1321, 1322, 1346, 1369, 1391, 1401, 1403, 1408, 1417, 1432, 1451, 1464, 1489, 1499, 1514,…
Une propriété des équations de Pell est que si on a les deux solutions : u²-nv²=A
w²-nz²=B,
alors s²-nt²=AB a une solution.
En particulier, u=n, v=1 satisfait u²-nv²=n(n-1)
Donc si (n+1)/3 est entier, il existe une solution à w²-nz²=(n+1)/3 soit n=(3w²−1)/(3z²+1).
En particulier, les nombres de la forme 3w²-1 (z=0) sont des valeurs de n acceptables. http://www.thomasoandrews.com/math/squares.html
Il y en a une infinité.
Q2
Comme la réponse à Q1 impose des conditions, il suffit de ne pas respecter ces conditions. Il y a une infinité d'entiers n qui répondent à la question.
Par exemple, la somme des carrés de n entiers consécutifs n'est jamais un carré parfait si n est un carré parfait non premier avec 6.
