Problème proposé par Dominique Roux
Q1 : Combien existe-t-il de suites de 49 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
Q2 : Peut-on trouver 61 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
La somme de 2k+1 carrés d’entiers consécutifs encadrant n est égale à (n-k)2 +...+(n-1)2 +n2 +(n+1)2 +...+(n+k)2 =(2k+1)n2+2(1+...+k2)
=(2k+1)(n2+k(k+1)/3). Elle est donc divisible par 2k+1 si 3 divise k(k+1).
Q1 : Pour k=24, k(k+1)/3=200, 2k+1=49 qui est un carré, : la somme sera donc un carré si n2+200 est un carré, m2 , soit (m+n)(m-n)=200 , ce qui donne pour le couple (m-n, m+n) les valeurs possibles : (2,100), (4, 50), (10, 20) soit les
solutions : n=49, n=23, n=5, dont seule la première correspond à des termes tous positifs : 252+...+732=49*(492+200)=3572 .
Q2 : Pour k=30, k(k+1)/3=310, 2k+1=61 qui n’est pas un carré (c’est même un nombre premier) : la somme ne peut être un carré parfait que si n2+310 est divisible par 61 : soit n=61p±19, et n2+310=61(61p2±38p+11).
Or 61p2±38p+11=p2±2p+3=(p±1)2+2 (mod 4) ne peut être un carré : il est donc impossible de trouver 61 entiers consécutifs dont la somme soit un carré parfait.
