D663 – La saga des carrés inscrits (2ème épisode) [**** à l a main]
Problème proposé par Dominique Roux
Ce problème est le deuxième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?
On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.
On numérote les droites (AB),(BC),(CD),(DA) par respectivement (1),(2),(3),(4).
On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1,M2,M3,M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).
Q3 Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD), quelles sont les valeurs respectives de N si (ABCD) est un rectangle, un losange, un parallélogramme, un trapèze isocèle ?
(1)Nota : les deux premières questions Q₁ et Q₂ figurent dans le problème D662
Commentaires de Daniel Collignon
Le rectangle admet 4 carrés dans une configuration générale. La figure montre comment le construire en s'appuyant sur les carrés extérieurs au rectangle. Par symétrie il y en aura bien 4.
Quelques références intéressantes en rapport avec le problème :
- point 4 à la fin de http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/SimilarlyGliding.html - traite un cas plus général mais intéressant https://arxiv.org/pdf/1403.5979.pdf
