D662 – La saga des carrés inscrits (1er épisode) [*** à l a main]
Problème proposé par Dominique Roux
Ce problème est le premier épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?
On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.
On numérote les droites (AB) , (BC) , (CD) , (DA) par respectivement (1) , (2) , (3) , (4).
On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1 , M2 , M3 , M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).
Q₁ Montrer que si (ABCD) est un carré, il admet une infinité de carrés inscrits.
Q₂ On suppose que (ABCD) admet 2 carrés inscrits (M1 M2 M3 M4) et (M'1 M'2 M'3,M'4) orientés dans le même sens. Montrer qu'alors (ABCD) admet une infinité de carrés inscrits.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
Soit O le centre du carré ABCD.
En considérant les carrés ABCD et BCDA, construisons M1 milieu de AB, puis M2, M3, M4 par rotation de centre O et d'angle pi/2, pi, 3pi/2.
Mi appartient à la droite (i) pour i=1 à 4, et M1M2M3M4 est un carré.
Il suffit alors d'itérer une construction de carré "médian" (en partant de ABCD et du dernier carré construit) pour en obtenir une infinité.
Variante : M1 = bar{A(t), B(1-t)} avec t réel différent de 0 ou 1.
Q2
On construit Mi'' milieu de MiMi' pour i=1..4.
Alors M1''M2''M3''M4'' est un carré.
On peut le montrer en considérant la similitude qui transforme M1M2M3M4 en M1'M2'M3'M4'.
Celle-ci s'écrit z'=az+b dans le plan complexe.
Alors z''=(z+z')/2=a'z+b' avec a'=(a+1)/2 et b'=b/2, similitude qui transforme M1M2M3M4 en M1''M2''M3''M4''.
L'image d'un carré par une similitude est un carré (découle de la conservation des angles, au niveau des images des 4 sommets et du centre, l'image du carré étant alors un rectangle ayant ses diagonales perpendiculaires, donc un carré)
Il suffit alors d'itérer une construction de carré "médian" (en partant de M1M2M3M4 et du dernier carré construit) pour en obtenir une infinité.
Variante : Mi'' = bar{Mi(t), Mi'(1-t)} avec t réel différent de 0 ou 1, pour i=1..4.
