Problème proposé par Dominique Roux
Ce problème est le deuxième épisode d’une saga qui en comportera cinq sur le thème(1) : Combien de carrés peut-on inscrire dans un quadrilatère ?
On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.
On numérote les droites (AB) , (BC) , (CD) , (DA) par respectivement (1) , (2) , (3) , (4).
On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) ( i entre 1 et 4) de telle façon que M1 , M2 , M3 , M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).
Q3 Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD), quelles sont les valeurs respectives de N si (ABCD) est un rectangle, un losange, un parallélogramme, un trapèze isocèle ?
(1)Nota : les deux premières questions Q₁ et Q₂ figurent dans le problème D662
Q3 : Considérons plus généralement le cas où AB est parallèle à CD à la distance l : le centre d’un carré inscrit est donc sur la parallèle médiane de ces deux droites ; si B’ est la projection orthogonale de B sur CD et C’ celle de C sur AB, construisons E et F,
respectivement sur AB et CD tels que C’E=B’F=l. EBCF est donc un trapèze isocèle.
M2 et M4 sont situés sur deux perpendiculaires à AB et CD formant un carré avec ces droites : M2 appartenant à BC, M4 appartient à EF. Par ailleurs M4 est sur DA.
Examinons alors les différents cas proposés :
- ABCD est un rectangle : l’angle ABC est droit, EBCF est alors un carré, et le point M4
n’existe que si EF et AD sont confondus, donc si ABCD est un carré ; nous avons vu qu’il y a alors une infinité de solution. Sinon N=0
- ABCD est un losange (non carré) comme BE<BC<CF (ou l’inverse) et AB=BC=CD, AD et EF ont un point d’intersection M4 à partir duquel on reconstitue le carré : N=1 - ABCD est un parallélogramme (non rectangle) : les droites AD et EF, de pentes
opposées ont un point d’intersection M4 et N=1
- ABCD est un trapèze isocèle : si EF coïncide avec AD, il y a une infinité de solutions, sinon, EF est parallèle à AD et N=0.
