D663. La saga des carr´ es inscrits (2` eme ´ episode)
R´eciproque du th´eor`eme des figures semblables inscrites dans des droites
Soient4droitesD1,D2,D3,D4et2carr´esabcdeta0b0c0d0 aveca eta0 sur la droite D1, b et b0 sur la droite D2, cet c0 sur la droite D3. Pour que le carr´eABCD soit inscrit dans le quadrilat`ere form´e par les4droites, avec A sur D1, B sur D2, C sur D3 et D surD4, D doit ˆetre l’intersection deD4 avecdd0. Aest d´efini par l’homoth´etie Aa
aa0 = Dd dd0.
On choisit2cas particuliers pour construireabcdet a0b0c0d0 :
-b`a l’intersectionD1∩D2,c`a l’intersection deD3 avec la perpendiculaire `a D1enb,BCdonne le cˆot´e du carr´e,dest le sym´etrique debpar rapport `aAC. -a0`a l’intersectionD1∩D2,c0 `a l’intersection deD3 avec la diagonale.
Pour chaque distribution des sommets surD2,D3,D4on obtient une solution sidd0coupe la droite affect´ee `aD, pas de solution si elles sont parall`eles et une infinit´e sidetd0appartiennent `a la droite vis´ee. On a donc6solutions dans le cas g´en´eral.
Cas 1 2 3 4 5 6
Droite PQ A A A A A A
Droite QR D D B C B C
Droite RS C B D D C B
Droite SP B C C B D D
1
Rectangle
Avec A et C sur 2 parall`eles, aucun carr´e n’est inscriptible dans le rectangle P QRS. Avec A et C sur des droites concourantes, on a 4 carr´es inscrits
2
sym´etriques par rapport aux m´ediatrices des cˆot´es du rectangle.
Losange et parall´elogramme
On retrouve les6carr´es inscrits du cas g´en´eral.
Trap`eze isoc`ele
Il y a 4carr´es inscrits dans le cas g´en´eral, qui correspondent aux distributions 2, 3, 4 et 6. Les distributions 1et 5ne donnent pas de solution dans le cas g´en´eral, mais la distribution5en donne une infinit´e si le trap`eze a sa hauteur
´
egale `a sa largeur `a mi-hauteur.
3
4
