C10203. Mini-sudoku
La grille du mini-sudoku n’a que 4 lignes et 4 colonnes, et se divise en 4 carr´es de 2×2 cases. Chaque ligne, chaque colonne et chaque carr´e comporte les 4 symboles 1, 2, 3, 4 (un par case). Combien peut-il exister de grilles distinctes ?
Dans un probl`eme de mini-sudoku, il s’agit de d´eterminer toute la grille `a partir du contenu donn´e pour certaines cases. Combien (au moins) la grille-
´enonc´e doit-elle avoir de cases remplies pour que la solution soit unique ? Solution
Je note N O, N E, SO, SE les carr´es 2×2 selon les points cardinaux. Il y a 4! = 24 fa¸cons de constituer le carr´eN O, puis 2×2 = 4 fa¸cons de compl´eter les deux premi`eres colonnes pour former le carr´eSO. Deux cas sont alors `a consid´erer : si deux ´el´ements de la mˆeme ligne dans N O sont en diagonale dans SO, cela d´etermine le reste, `a un ´echange des 3e et 4e colonne pr`es (donc 2 solutions) ; si deux ´el´ements de la mˆeme ligne dansN O sont sur la mˆeme ligne dans SO, il y a 4 fa¸cons de compl´eter les carr´esSE etN E. Au total 24(2×2 + 2×4) = 288 grilles possibles.
Pour qu’il y ait solution unique, il faut utiliser au moins 3 des 4 symboles (sinon, toute solution en donne une autre en ´echangeant les symboles non utilis´es dans l’´enonc´e), donc donner le contenu d’au moins 3 cases. En exami- nant les divers cas, on voit que 3 cases ne suffisent jamais, alors que l’´enonc´e
`
a 4 cases ci-dessous n’admet qu’une solution.
1 2
4 3
1
