E XERCICE 1 : P ROPRI ´ ET ´ E D ’ UNE FIGURE

Dossier N

2 Seconde 4

Rep´ erage

E XERCICE 1 : P ROPRI ´ ET ´ E D ’ UNE FIGURE

Dans un rep` ere (O; I, J ) orthonormal, on donne les points de coordonn´ ees suivantes.

R(1; −1) S(−2; 0) T(0; 6) et U (3; 5) 1 Placer les points dans le rep` ere (O; I, J ).

2 Quelle semble ˆ etre la nature la nature du quadrilat` ere RST U ? Il semble que le quadrilat` ere RST U soit un rectangle.

3 Justifier votre conjecture.

Il y a plusieurs m´ ethodes pour d´ emontrer que la figure est un rectangle.

Je choisis de d´ emontrer que la figure est un parall´ elogramme dont les diagonales ont mˆ eme longueur

• ^{Etape 1 : ´}

Le milieu du segment [T R] a pour coordonn´ ees :

0 + 1

2 ; 6 + (−1) 2

= 1

2 ; 5 2

.

Le milieu du segment [SU ] a pour coordonn´ ees :

−2 + 3 2 ; 0 + 5

2

= 1

2 ; 5 2

. Les diagonales du quadrilat` ere RST U ont mˆ eme milieu.

Le quadrilat` ere RST U est donc un parall´ elogramme

• ^{Etape 2 : ´ On a :}

T R = p

(1 − 0)

+ (6 − (−1))

= p

1

+ 7

= √

1 + 49 = √ 50 Et

T R = p

(3 − (−2))

+ (5 − 0)

= p

5

+ 5

= √

25 + 25 =

√ 50 Les diagonales ont donc mˆ eme longueur

• Conclusion :

Le quadrilat` ere RST U est donc un rectangle

0 J

• I

•

• R O +

I S J

T

U

1 21 septembre 2017

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2 Seconde 4

E XERCICE 2 : PROPRI ´ ET ´ E D ’ UN TRIANGLE

On consid` ere dans un rep` ere orthonorm´ e (O,I,J) d’unit´ e 1 cm les points A(−1; 4), B(3; 7) et C(2; 0) 1 Faire une figure puis conjecturer la nature du triangle ABC

Il semble que le triangle soit un triangle rectangle isoc` ele

0 J

I

•

•

• A

O + I J

B

C

D´ emontrer votre conjecture.

Calcul des longueurs des trois cˆ ot´ es : AB = p

(3 − (−1))

+ (7 − 4)

= p

4

+ 3

= √

16 + 9 = √ 25 = 5 AC = p

(2 − (−1))

+ (0 − 4)

= p

3

+ (−4)

= √

9 + 16 =

√ 25 = 5 BC = p

(2 − 3)

+ (0 − 7)

= p

(−1)

+ (−7)

= √

1 + 49 = √ 50 Le triangle est donc isoc` ele de sommet A.

De plus : BC

= √

50

= 50 Et :

AB

+ AC

= 5

+ 5

= 25 + 25 = 50

Le triangle v´ erifie donc la relation de Pythagore, il est donc rectangle en A

2 D´ eterminer l’aire en cm

du triangle ABC Le triangle ´ etant rectangle en A, l’aire du triangle est donn´ e par :

Aire(ABC ) = AB × AC

2 = 5 × 5 2 = 25

2

2 21 septembre 2017