Exercice 2 – 5 points Exercice 1 – 7,5 points Durée 2 heures. Calculatrice COLLEGE autorisée. Terminales S DTL N°1 Mathématiques

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Terminales S DTL N°1 Mathématiques

Sujet

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/2 Vendredi 1^er octobre 2010

Durée 2 heures.

Calculatrice COLLEGE autorisée.

Une attention particulière devra être portée à la clarté et à la précision de la rédaction, éléments entrant pour une part significative dans la notation chiffrée.

Le barème est fourni à titre indicatif.

Exercice 1 – 7,5 points

Calculer les limites des fonctions suivantes aux endroits indiqués :

1.

( )

¹

4 2

f x x

x

= −

+ en −∞ ; 2.

( )

^sin ¹

2 g x x

x

= + en +∞ ;

3.

( )

¹

1 h x x

x

= −

− en 1 ;

4.

( )

² ⁷ ¹²

3

x x

r x x

− +

= − en 3 à droite ;

5.

( )

² ³

1 s x x

x

= +

+ en −∞.

Exercice 2 – 5 points

Soit la fonction f définie sur

[

^{0 ;}^{+ ∞}

]

^{par :}

( )

] [

3 si 0 ;1 2

2 1 1

si ; 1

15 2

3 2

si 1 ; 1

ax x

f x x x

x

x x

x

⎧ + ∈⎡ ⎡

⎪ ⎢⎣ ⎢⎣

⎪⎪ −

⎪ ⎡ ⎤

=⎨⎪ + ∈⎢⎣ ⎥⎦

⎪ + −

⎪ ∈ + ∞

⎪⎩ − 1. Démontrer que f est continue en 1.

2. Pour quelle valeur de a la fonction f est-elle continue en 1 2 ?

3. Montrer, pour la valeur de a trouvée à la question précédente, que la fonction f est continue sur l’intervalle

[

^{0 ;}^{+ ∞}

]

^.

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Terminales S DTL N°1 Mathématiques

Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/2 Vendredi 1^er octobre 2010

Exercice 3 – 7,5 points

Soit f une fonction dont le tableau de variation, incomplet, est le suivant ; on désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f.

On admet que f est définie sur

]

−∞ − ∪ − + ∞^{; 1}

[ ]

^{1 ;}

[

par :

( )

1

f x ax b c

= + +x + Où a, b et c sont des réels.

1. Calculer ^f ^'

( )

^x en fonction de a, b et c.

2. En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variation ci-dessus déterminez les valeurs des réels a, b et c.

3. Déterminez, en justifiant, les limites manquantes dans le tableau de variation fourni.

4. Montrez que la courbe représentative

C

_f de la fonction f admet comme asymptote la droite

D

d’équation y= −x 1 lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞.

Etudiez la position relative de la courbe

C

_f et de son asymptote

D

^.

5. Déterminez un réel A tel que :

( ) (

¹

)

^{0, 01}

x > ⇒A f x − x− <

−∞

x

( )

' f x

f

−3 −1 1 +∞

−∞

−6 +∞

2 0

+ 0 – – +