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Contrôle n°5–
Partie BExercice n°1 – 7 points
On considère les nombres complexes zn définis, pour tout entier naturel n, par z0=1 et zn+1 = §[Left ( 1 /t{+;-} i sqrt{3}over{3} Right ) ]§ zn
On note An le point d'affixe zn dans un repère orthonormé (O, ⃗u , ⃗v ).
1. a.[1] Calculer /si{#1=-; §[Left ( 1 - i sqrt{3}over{3} Right ) ]§ ; §[Left ( 1 + i sqrt{3}over{3} Right ) ]§ } sous forme exponentielle.
b.[1] En déduire z1 et z2 sous forme exponentielle.
2. a.[1] Déduire de ce qui précède zn en fonction de n.
b.[1] Pour quelles valeurs de n, les points O, A0 et An sont-ils alignés ? 3. Pour tout entier naturel n, on pose dn=|zn+1 – zn|.
a.[0.5] Interpréter géométriquement dn. b.[1] Calculer d0.
c.[0.5] Déterminer zn+2 – zn+1 en fonction de zn+1 – zn.
d.[1] En déduire la nature de la suite (dn) et ses éléments caractéristiques.
Exercice n°2 – 3 points
La figure page suivante représente un cube ABCDEFGH d'arête 6 cm (la figure n'est pas à l'échelle).
Soient I, J et K trois points respectifs des arêtes [AB], [GC] et [EH] tels que, en centimètre, AI=/t{1;2;4}, GJ=/t{1;2;4}, et EK=/t{1;2;4}.
1. [1] Placer les points I, J et K.
2. [1] Construire l'intersection du plan (IJK) avec le cube.
3. [1] Justifier la construction.
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