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I E 3 E 2 E 1 ´EpisodeI:Matrices

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(1)

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2

`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 2 2013/2014

´Episode I : Matrices

E XERCICE 1

Soit f l’endomorphisme de R

3

associ´e `a la matrice A =

0 0 0 4 1 0 0 2 2

.

1. Caract´eriser le noyau et l’image de f par une base.

2. Soit u = (1, −4, 4), v = (0, 1, −2), w = (0, 0, 1). D´eterminer f (u), f (v) et f (w).

En d´eduire la matrice B de f dans la base {u, v, w} de R

3

.

3. V´erifier ce r´esultat en utilisant la matrice de passage de la base canonique de R

3

`a la base {u, v, w}.

E XERCICE 2

Soit f l’endomorphisme de R

3

associ´e `a la matrice A =

−6 5 3

−8 7 4

−2 1 1

.

1. Caract´eriser le noyau et l’image de f par une base.

2. Soit v = (1, 2, −1), w = (0, −1, 2). Calculer f (v) et en d´eduire que v ∈ Im f.

Exprimer f (w) en fonction de v et w, en d´eduire que w ∈ Im f.

3. Trouver une base de R

3

dans laquelle la matrice de f est B =

0 0 0 0 1 1 0 0 1

.

Retrouver ce r´esultat en utilisant la matrice de changement de base.

E XERCICE 3

Soit f l’endomorphisme de R

3

dont la matrice dans la base canonique est

A =

3 −4 4 1 −1 −8 0 0 −3

1. On pose u

1

= (6, 13, 4) et u

2

= (2, 1, 0). On note U

1

et U

2

les vecteurs colonnes de leurs coordonn´ees dans la base canonique. Calculer AU

1

et AU

2

.

2. D´eterminer un vecteur u

3

tel que AU

3

= U

2

+ U

3

. 3. Montrer que la famille {u

1

, u

2

, u

3

} est une base de R

3

.

Calculer de deux fac¸ons diff´erentes la matrice B de f dans cette base.

4. Montrer que l’on peut ´ecrire B = D + N o `u D est une matrice diagonale.

Montrer que D et N commutent.

5. Calculer N

n

pour n entier naturel. En d´eduire B

n

puis A

n

.

I NDICATION

On pourra utiliser la formule du bin ˆome de Newton.

(2)

R EMARQUE

Exercice tir´e du sujet de mai 2013...

E XERCICE 4

Partie A

Soit f l’endomorphisme de R

3

dont la matrice dans la base canonique est

A =

4 0 0

−1 4 2 0 0 4

On pose u

1

= (0, 1, 0), u

2

= (1, 1, 1) et u

3

= (2, 0, 1).

On note U

1

, U

2

et U

3

les vecteurs colonnes de leurs coordonn´ees dans la base canonique.

1. D´eterminer P la matrice de passage de la base canonique de R

3

`a {u

1

, u

2

, u

3

}.

2. Calculer le d´eterminant de P puis en d´eduire que P est inversible.

3. Que pouvez-vous en d´eduire de la famille {u

1

, u

2

, u

3

} ?

4. D´eterminer la matrice B de f dans la base {u

1

, u

2

, u

3

} sans utiliser P.

5. Calculer P

−1

en utilisant la m´ethode de votre choix.

6. En utilisant les matrices de changement de base, retrouver la matrice B de f dans la base {u

1

, u

2

, u

3

}.

7. Montrer que l’on peut ´ecrire B = D + N o `u D est une matrice diagonale.

8. Calculer N

n

pour n entier naturel. En d´eduire B

n

puis A

n

. Partie B

Les suites (x

n

), (y

n

) et (z

n

) sont solutions du syst`eme d’´equations de r´ecurrence :

x

n+1

= 4x

n

y

n+1

= −x

n

+ 4y

n

+ 2z

n

z

n+1

= 4z

n

9. ´Ecrire ce syst`eme sous la forme matricielle :

X

n+1

=

 x

n+1

y

n+1

z

n+1

 = A × X

n

puis d´eterminer les solutions x

n

, y

n

et z

n

en fonction des conditions initiales x

0

, y

0

et z

0

.

I NDICATION

On pourra utiliser la Partie A.

Références

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