Noyau et image
¦ EetFsont desK-espaces vectoriels etf :E→Fest linéaire.
Que désigneKerf? Comment déterminerKerf? Le noyau de f (noté Kerf) est l’ensemble des élémentsxdeE tels que f(x)=0F; c’est un sous-espace vectoriel deE. Déterminer Kerf revient ainsi à résoudre l’équationf(x)=0F. Il faut donc garder à l’esprit l’équivalence (pourx∈E) :
x∈Kerf ≺===Â f(x)=0F
Quel est le lien entreKerf et l’injectivité de f? L’application f est injective si, et seulement si, Kerf ={0E}.
B Comme Kerf est un sous-espace vectoriel deE, il n’estjamais videcar il contient toujours au moins 0E. L’applicationf est injective si, et seulement si, Kerf estréduit à{0E}.
Quel est le lien entreKerf et les équations linéaires ? Considérons une équation linéaire, c’est à dire une équation de la forme f(x)=bavecb ∈F et dont l’inconnue estx∈E. Si on connait une solution particulièrex0de cette équation alors pourx∈E:
f(x)=b ≺===Â f(x)=f(x0) ≺===Â f(x−x0)=0 ≺===Â x−x0∈Kerf
Les solutions de l’équationf(x)=bsont donc les éléments deEqui s’écrivent comme somme dex0
et d’un élément de Kerf.
Que désigneImf? Comment déterminerImf? L’image def est l’ensemble des élémentsydeF qui possèdent un antécédant parf ; c’est un sous-espace vectoriel deF. On a donc :
Imf =©
f(x)|x∈Eª
=©
y∈F| ∃x∈E, f(x)=yª Il faut garder à l’esprit l’équivalence (poury∈F) :
y∈Imf ≺===Â ∃x∈E,y=f(x)
Pour déterminer Imf, on utilise souvent le résultat suivant : siB=(e1, . . . ,en) est une base deE, alors (f(e1), . . . ,f(en)) est une famille génératrice de Imf. On peut également utiliser les informations fournies par le théorème du rang : siEest de dimension finie, alors dim Kerf+dim Imf =dimE.
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Quel est le lien entreImf et la surjectivité def? L’application f est surjective si, et seulement si, Imf =F.
B De manière générale, si on dispose d’une application linéaire f :E→F, il n’y a aucune raison pour que Imf =F. C’est le cas si, et seulement si,f est surjective.
Quel est le lien entreImf et les équations linéaires ? L’équation linéaire f(x)=b (avecb∈F, l’inconnue estx∈E) possède des solutions si, et seulement si,b∈Imf.
Comment déterminerKerf etImf lorsque f est définie par sa matrice dans une base ? Consi- dérons par exemple le cas oùEest un espace vectoriel de dimension 3,B=(e1,e2,e3) est une base deEetf est l’endomorphisme deEtel que MatB(f)=Mavec :
M=³ 1 −1 0
−1 1 0 0 0 1
´
Pour³x
y z
´
∈K3, on a :
M³x y z
´
=0 ≺===Â
x−y=0
−x+y=0 z=0
≺===Â
½ y=x
z=0 ≺===Â ³x y z
´
=³x
x 0
´
≺===Â ³x y z
´
∈Vect³1
10
´
On voit donc apparaitre le sous-espace vectoriel Vect³1
10
´. Il faut prendre garde au fait qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel deK3et pas deE. Par conséquent, ce sous-espace n’est pas le noyau def. Par contre on a :
KerM=Vect³1
10
´
Pour obtenir Kerf, il faut « convertir » le vecteur³1
10
´
en un vecteur deE; il s’agit du vecteur dont les coordonnées dansBsont (1, 1, 0) c’est à dire le vecteure1+e2. Ainsi :
Kerf =Vect(e1+e2)
De plus, la famille (e1+e2) est libre (constitué d’un seul vecteur non nul), c’est donc une base de Kerf. Les colonnes de la matriceMengendrent le sous-espace vectoriel ImM:
ImM=Vect³³ 1
−10
´ ,³−1
10
´ ,³0
01
´´
=Vect³³ 1
−10
´ ,³0
01
´´
À nouveau il s’agit d’un sous-espace vectoriel deK3. Les vecteurs deE dont les coordonnées dans Bsont (1,−1, 0) et (0, 0, 1) sont respectivemente1−e2ete3de sorte que :
Imf =Vect(e1−e2,e3)
La famille (e1−e2,e3) est libre (constituée de deux vecteurs non colinéaires), c’est donc une base de Imf.
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