Activit´e de math´ematiques
Caract´erisation d’un triangle ´equilat´eral dans le plan complexe
Soit ABC un triangle du plan complexe et a, b etc les affixes respectives des points A, B etC. On pose j=e2iπ3 .
Th´eor`eme 1. Le triangleABC est ´equilat´eral direct si et seulement sia+bj+cj2 = 0.
Th´eor`eme 2. Le triangleABC est ´equilat´eral si et seulement sia2+b2+c2 =ab+bc+ac.
Preuve du Th´ eor` eme 1
1. Prouver que (1−j)(1 +j+j2) = 1−j3. En d´eduire que 1 +j+j2 = 0.
2. Prouver que le triangle ABC est ´equilat´eral direct si et seulement si a−c b−c =−j.
3. En d´eduire la d´emonstration du Th´eor`eme 1.
Preuve du Th´ eor` eme 2
1. Prouver que le triangle ABC est ´equilat´eral indirect si et seulement sia+bj2+cj= 0.
2. Prouver que (a+bj+cj2)(a+bj2+cj) = (a2+b2+c2)−(ab+bc+ac).
3. En d´eduire la d´emonstration du Th´eor`eme 2.
Application
Th´eor`eme 3. Il n’existe aucun triangle ´equilat´eral dont les coordonn´ees des sommets dans un rep`ere orthonorm´e direct du plan sont des entiers.
On suppose par l’absurde qu’il existe un tiangle ´equilat´eral ABC dont les coordonn´ees des sommets dans un rep`ere orthonorm´e direct du plan sont des entiers. On notea,betcles affixes respectives des points A,B etC.
1. Expliquer pourquoi on peut se ramener au cas a= 0.
2. Montrer qu’alorsc=−jbou c=−j2b.
3. Conclure en utilisant l’irrationalit´e de √ 3.
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