1S,NOM: Grille de correction DS 4 Note : /24
E 1 Réponse Points Eus
1. Soit M (x; y). −−→ AM = 2 −−→ AB − 3 −→ AC ⇔ x − 2
y + 3
= 2 × − 3
8
− 3 × 1
3
⇔ M ( − 7; 4). 1.5 2.a (d) est dirigée par −−→
AB − 3
8
et passe par C.
M (x ; y) ∈ (d) ⇔ −−→ AB − 3
8
et −−→ CM x − 3
y
colinéaires
⇔ 8 × (x − 3) + 3 × y = 0 (condition de colinéarité)
⇔ 8x + 3y − 24 = 0
et donc (d) : 8x + 3y − 24 = 0 1.5
2.b Soit K(a; b) = (d) ∩ (d
′) ⇔
a + b = 2
8a + 3b − 24 = 0
a=2⇔
−b
a = 2 − b
− 5b − 8 = 0 K
18 5 ; − 8
5
1
Total −→ 4 points
E 2 Réponse Points Eus
Construction des points E et F. 1
Coordonnées de O, E et F : O(1/2; 1/2), E(1/4; 1) et F (0; 3/2). 1.5
−−→ OE
x
E− x
O= − 1/4 y
E− y
O= 1/2
et −−→ OF
− 1/2 1
; puis 2 −−→ OE = −−→ OF , les vecteurs sont coli- néaires et les points O, E et F sont alignés .
1.5
Total −→ 4 points
E 3 Réponse Points Eus
1. | x | = a ⇔ x = a ou x = − a
| x | 6 a ⇔ − a 6 x 6 a ⇔ x ∈ [ − a; a] 1
| x | > a ⇔ x < − a ou x > a ⇔ x ∈ ] − ∞ ; − a[ ∪ ]a; + ∞ [ -0.5/err.
2. | 3x − 4 | = 2
cf Q.1⇔ 3x − 4 = 2 ou 3x − 4 = − 2 ⇔ x = 2 ou x = 2
3 . S = 2
3 ; 2
1
| x − 3 | > 2
3 ⇔
cf Q.1
x − 3 < − 2
3 ou x − 3 > 2
3 ⇔ x < 7
3 ou x > 11 3 . S =
−∞ ; 7 3
∪ 11
3 ; + ∞
2
Total −→ 4 points
E 4 Réponse Points Eus
1. f (x) existe si, et seulement si, x + 1 > 0 ⇔ x > − 1. D
f= [ − 1; + ∞ [ 0.5 2. f est strictement croissante sur I si, pour tous réels a et b de I, a < b implique
f (a) < f(b) .
0.5
3. Soit (a, b) ∈ [ − 1; + ∞ [ tels que − 1 6 a < b.
− 1 6 a < b
⇒ 0 6 a + 1 < b + 1 (+1)
⇒ 0 6 √
a + 1 < √
b + 1 x 7→ √
x strictement croissante sur ]0; + ∞ [ Bonus : +1
⇒ 0 6 f (a) < f (b)
. 2
La propriété de la question précédente est vérifiée donc la fonction f est strictement croissante sur [ − 1; + ∞ [
Total −→ 3 points
1S,NOM: Grille de correction DS 4 Note : /24
E 5 Réponse Points Eus
A.1 x
S= − b 2a = 6
4 = 3
2 et u(x
S) = u 3
2
= 9
2 = y
Sdonc la forme canonique de u est bien u(x) = 2
x − 3
2
2+ 9
2 . On pouvait aussi développer l’expression fournie par l’énoncé.
0.5
A.2 Tableau de variations (a = 2 et a > 0 ; S(3/2; 9/2)) x
Variations de u
−∞
32+ ∞
Ts Ts
9 2 9 2
Ts Ts
1 A.3a u admet un minimum qui vaut 9
2 atteint en 3
2 ; en effet, pour tout x ∈ R, u(x) > 9 2 et 9
2 = u 3
2
.
0.5
A.3b D’après ce qui précéde, u(x) > 0 pour tout x ∈ R . (Le minimum est strictement positif)
0.5
B.1 Pour tout x ∈ R, u(x) > 0 donc la fonction g = 1
u est définie sur R. 0.5
B.2 u et g ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction u ne s’annule pas. Ainsi, on peut aisément écrire :
• g est strictement croissante sur ] − ∞ ; 3/2] car u est strictement décroissante sur cet intervalle ;
• g est strictement décroissante sur [3/2; + ∞ [ car u est strictement croissante sur cet intervalle.
1 Tableau de variations de g :
x Variations
de g
−∞
32+ ∞
Ts Ts
2 9 2 9
