A635 – Exercices à une main sur deux partitions [* et *** à la main ] Problème proposé par Raymond Bloch
E1 Zig demande à Puce de trouver toutes les suites de six entiers consécutifs > 0 tels que le produit de deux d’entre eux augmenté du produit de deux autres est égal au produit des deux restants. Aidez Puce à résoudre l’exercice.
E2 Zig soumet à Alice, Bernard, Caroline et Daniel une suite S de huit entiers consécutifs > 1 et demande à chacun d’eux de trouver une partition de S en deux suites S₁ et S₂ de quatre termes chacune de sorte qu’elles aient le même produit de deux de leurs termes augmenté du produit des deux termes restants. Soit si (i = 1,2,3,4) les sommes communes aux deux suites S₁ et S₂ obtenues par chacun des quatre amis.
Q1 Démontrez qu’au moins deux amis obtiennent la même somme.
Q2 Alice a une somme s1 inférieure à celle s2 de Bernard et celles-ci sont distinctes de la somme obtenue par Caroline et par Damien, s3 = s4 = 8124474. Déterminez le plus grand terme de S et les sommes s1 et s2. Solution proposée par Bernard Vignes
E₁
Les six entiers consécutifs sont de la forme n, n+1, n+2, n+3, n+4 et n+5 avec n > 0..
Il s’agit de résoudre l’équation diophantienne (E) : (n + a).(n + b) + (n + c).(n + d) = (n + e).(n + f) dans laquelle les entiers distincts a,b,c,d,e et f sont choisis parmi l’ensemble {0,1,2,3,4,5}
Il y a C(6,2) = 15 paires d’entiers (e,f) et pour chaque paire (e,f) il y a C(4,2)/2 = 3 paires d’entiers (a,b) et 3 paires d’entiers (c,d) soit au total N = 45 combinaisons possibles. En réalité ce nombre est bien plus réduit car le plus grand terme du second membre de (E ) est au moins égal à 4,sinon le premier membre est toujours supérieur au second membre.
On est ainsi ramené à la résolution d’équations du second degré de la forme : n² + (a + b)n + ab + n² + (c + d)n + cd = n² + (e + f)n + ef
Soit n² + (e + f –a – b – c – d)n + ef – ab – cd = 0
1er cas f = 5, e = 4. Il y a une solution avec a = 0, b = 3, c = 1 et d = 2 qui donnent n = 6.
D’où la suite {6,7,8,9,10,11} avec l’équation 10*11 = 6*9 + 7*8 = 110 2ème cas f = 5, e = 3. Pas de solution.
3ème cas f = 5, e = 2. Il y a une solution avec = 0, b = 2, c = 1 et d = 4 qui donnent n = 2.
D’où la suite {2,3,4,5,6,7} avec l’équation 4*7 = 2*5 + 3*6 = 28 4ème cas f = 5, e = 1. Pas de solution.
5ème cas f = 5,e = 0. Pas de solution.
6ème cas f = 4,e = 3. Il y a une solution avec = 0, b = 1, c = 2 et d = 5 qui donnent n = 1.
D’où la suite {1,2,3,4,5,6} avec l’équation 5*4= 1*2 + 3*6 = 20 Pour f = 4 et e < 3,il n’y a pas de solution.
E₂ Q₁
Soit{ n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8} avec n > 0 la suite de huit entiers consécutifs.
Il y a au maximum trois sommes distinctes obtenues avec la suite S₁={n°1,4,6,7} et la suite S₂ ={ n°2,3,5,8}.
On obtient les trois partitions ci-après qui donnent les mêmes sommes:
(n + 1).(n+4) + (n + 6).(n + 7) = 2n² + 18n + 46 = (n+2).(n + 3) + (n + 5).(n + 8) (n + 1).(n+6) + (n + 4).(n + 7) = 2n² + 18n + 34 = (n+2).(n + 5) + (n + 3).(n + 8) (n + 1).(n+7) + (n + 4).(n + 6) = 2n² + 18n + 31 = (n+2).(n + 8) + (n + 3).(n + 5)
Il n’y en a pas d’autres. En effet chacune des deux suites S₁ et S₂ doit comporter 2 entiers pairs et deux entiers impairs.
Si l’une d’entre elles S₁ ne contient que des entiers impairs (et l’autre S₂ exclusivement des entiers pairs),il est impossible d’obtenir deux sommes identiques.
La plus petite somme obtenue avec S₂ est égale à 2*8 + 4*6 = 40 et la plus grande somme obtenue avec S₁ est égale à 1*3 + 5*7 = 38.
Si l’une d’entre elles contient trois nombres impairs, la somme s correspondante est impaire tandis que cette somme est toujours paire dans l’autre suite. Contradiction.
Sans perte de généralité supposons que n + 1 est pair (i.e. n est impair).
Si n + 1 est associé à n + 4 ou n + 6 ou n + 7, on retrouve l’une des trois partitions précédemment décrites.
Si n + 1 est associé à n + 2, qui sont les deux plus petits termes,il est impossible d’obtenir deux sommes
identiques avec deux autres entiers de parités différentes tels que (n + 7),(n + 8) ou (n + 5),(n + 8) ou (n + 3), (n + 8) ou (n + 4), (n + 7) etc….
Si n + 1 est associé à n + 3 ou à n + 5, il est impossible d’obtenir deux sommes identiques avec deux autres entiers impairs tels que (n + 6),(n + 8) ou (n + 4),(n + 8) ou (n + 2),(n + 8) ou (n + 4),(n + 6) etc…
Si n + 1 est associé à n + 8, il est impossible d’obtenir deux sommes identiques avec deux autres entiers de parités différentes tels que (n + 6),(n + 7) ou (n + 5),(n + 6) ou (n + 4), (n + 5) ou (n + 3), (n + 4) etc….
Comme il y a quatre amis et trois partitions possibles, d’après le principe des tiroirs deux amis ont au moins deux partitions identiques et obtiennent la même somme.
Q₂
On a l’équation 2n² + 18n + a = 8124474 avec a = 31 ou 34 ou 46.
Δ = 81 – 2(a – 8124474) = carré parfait 16249029 – 2a = carré parfait = 4031² = 16248961 . D’où a = 34.
On déduit n = (– 9 + 4031) /2 = 2011. Le dernier terme est donc 2019.
Il en résulte : s₁ 8124471 et s₂ = 8124486
