A725- Huit sacs [*** à la main] Problème proposé par Augustin Genoud

A725- Huit sacs [*** à la main]

Problème proposé par Augustin Genoud

Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 100 billes. Six sacs ont uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer le poids des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique.

Par convention et sans perte de généralité, on retient a ≤ b ≤ c ≤ …. ≤ h ≤ 0.

Déterminer le nombre de billes qu'il convient d'extraire de chaque sac dans les deux cas suivants :

- le nombre total de billes sorties des sacs est le plus petit possible.

- le terme h est le plus petit possible ?

Solution proposée par Daniel Collignon

Notons s = a+...+h.

Si tous les sac ne contenaient que des billes de 10g, alors la pesée serait de 10s.

En réalité la pesée vaut 10s + x - y où x désigne le nombre de billes du sac X (11g) et y celui du sac Y (9g).

Afin d'identifier les faux sacs en une seule pesée, il est nécessaire de construire une séquence dont les différences 2 à 2 sont distinctes deux à deux.

Si on a une telle séquence, on peut la translater de sorte que a=0.

Avec un algorithme glouton, j'arrive à 0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44

Quelques recherches sur Internet m'ont amené à la règle de Golomb 0, 1, 4, 9, 15, 22, 32, 34 pour répondre au deuxième cas.

Dans les deux cas, s = 117 pour le premier cas.