Séquence 2
Pourcentages
Sommaire
Pré-requis
évolutions et pourcentages
évolutions successives, évolution réciproque Complément sur calculatrices et tableur Synthèse du cours
Exercices d’approfondissement
1 Pré-requis
Vous avez souvent rencontré des pourcentages dans la vie courante et vous avez déjà travaillé sur cette notion durant votre scolarité. Nous allons analyser dans ce premier chapitre les principaux types de problèmes liés aux pourcentages et nous étudierons plus particulièrement dans cette première séquence les pourcentages d’évolution.
Calculer le pourcentage d’un nombre
Exemple
a) Combien valent 19,6% de 75?
On effectue le calcul : 19 6
100, 75 0 196 75 14 7
, , .
× = × =
19,5% de 75 est donc égal à 14,7.
b) Combien valent 19,6% de 300?
On effectue le calcul : 19 6
100, ×300 0 196 300 58 8= , × = , . 19,6% de 300 est donc égal à 58,8.
t % d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par t 100. à savoir
Déterminer une proportion
Exemple
a) Dans un magazine de 80 pages, on trouve 28 pages de publicité.
Quel est le pourcentage de publicité de ce magazine ?
A
300 étant égal à 75 multiplié par 4, 19,6% de 300 sera égal à 19,6% de 75 multiplié par 4.
En effet, 14 7 4 58 8, × = , Remarque
B
Il s’agit en fait de déterminer le nombre de pages de publicité si le magazine contenait 100 pages.
Les règles de proportionnalité nous permettent le calcul suivant : pour 80 pages de magazine, on a 28 pages de publicité,
pour 1 page, on en aurait 80 fois moins, soit 28 80, et pour 100 pages, on en aurait 100 fois plus, soit 28
80×100 35= . Le magazine contient donc 35% de publicité.
Ce type de raisonnement est appelé « règle de trois ».
On peut dire aussi que la proportion de publicité dans ce magazine est de 35%, ou encore que la part de publicité dans ce magazine est de 35%.
Vous avez pu aussi résoudre ce genre de problèmes à l’aide d’un tableau de proportionnalité.
Nombre de pages du magazine 80 100 Nombre de pages de publicité 28 x
D’après les règles du « produit en croix », on doit avoir : 80× =x 100 28× soit x=100 28× =
80 35.
Le magazine contient donc 35% de pages de publicité.
Enfin, une dernière méthode de détermination de la proportion de publicité dans le magazine consiste à la calculer sous forme fractionnaire.
Puisque l’on a 28 pages de publicité pour 80 pages de magazine, cette propor- tion (ou part, ou fréquence) est égale à : 28
80=0 35, . Or 0 35 35
, =100, soit 35 sur 100, soit 35%.
b) On considère une assemblée de 720 personnes composée de 450 femmes et de 270 hommes.
Quel est le pourcentage de femmes dans cette assemblée ? La proportion de femmes dans l’assemblée est de : 450
720=0 625, soit 62,5%.
A
E Soit A un sous-ensemble (ou partie) de E.
La proportion p de A dans E est : p=nombre d'éléments de A
nombre d'éléments de E . p est un nombre réel compris entre 0 et 1.
Lorsque ce nombre est décimal, on l’exprime aisément sous la forme d’un pourcentage.
à savoir
Déterminer le tout connaissant une partie
Exemple
a) Dans un quotidien, on peut lire :
« 3 390 personnes ont voté, c’est-à-dire 75% des inscrits sur les listes électorales ».
Calculer le nombre d’inscrits.
Notons N le nombre d’inscrits.
75
100× =N 3 390, soit 0 75, N=3 390, soit N=3 390=
0 75 4 520
, .
4 520 personnes sont donc inscrites sur les listes électorales.
Puisque le nombre de votants est égal à 75% du nombre d’inscrits, on obtient le nombre de votants en multipliant le nombre d’inscrits par
75 100= 0,75.
Le nombre d’inscrits s’obtient donc en divisant le nombre de votants par 0,75.
Remarque
b) Jean-Pierre a un revenu mensuel de 3 300€, ce qui représente 55% du revenu mensuel de son ménage.
Quel est le revenu mensuel de son ménage ?
Notons X le revenu mensuel de son ménage, en euros.
On a : 55
100× =X 3300, soit 0 55, X =3 003 soit , X=3 =
0 55300 6 , 000.
Le revenu mensuel du ménage est donc de 6 000 €.
Pour déterminer le « tout » lorsque l’on connaît une « partie », on peut pen- ser à introduire comme inconnue l’effectif du « tout ».
à savoir
C
Calculer un taux de TVA
Exemple
a) Voici une facture : Total HT ... 70 €.
TVA ... 13,72 € Quel est le taux de TVA appliqué ? Soit t % le taux de TVA appliqué.
t
100× =70 13 72, .
Par suite, t=13 72 100× =
70 19 6
, , .
Le taux de TVA appliqué est donc de 19,6%.
On pouvait aussi déterminer ce taux en raisonnant avec une « règle de trois » ou à l’aide de l’utilisation de produit en croix.
b) Voici une autre facture
Prix TTC des réparations ………..548,6 € dont TVA……….. 28,6 € Quel est le taux de TVA appliqué ?
Le prix HT des réparations exprimé en euros est donc de 548,6 −28,6 = 520€.
Soit t % le taux de TVA appliqué.
t
100×520 28 6= , . Par suite, t=28 6 100× =
520 5 5
, , .
Le taux de TVA appliqué est donc de 5,5%.
La TVA se calcule sur le prix hors taxe.
à savoir
D
2 évolutions et pourcentages
Activités
Des variations
1 Du 1/1/2000 au 1/1/2010 la population française est passée de 58 858 milliers à 62 794 milliers d’habitants.
a) De combien d’habitants a-t-elle augmenté du 1/1/2000 au 1/1/2010?
b) Par quel coefficient multiplicateur CM la population du 1/1/2000 a-t-elle été multipliée pour obtenir la population du 1/01/2010 ?
c) Quel est le pourcentage t % d’augmentation de la population entre le 1/01/2000 et le 1/01/2010 ?
2 Du 1/1/2008 au 1/1/2009 la population allemande est passée de 84 191 mil- liers d’habitants à 82 002 habitants.
a) De combien d’habitants a-t-elle baissé du 1/1/2008 au 1/1/2009 ?
b) Par quel coefficient CM la population du 1/1/2008 a-t-elle été multipliée pour obtenir la population du 1/01/2009 ?
c) Quel est le pourcentage t % de diminution de la population entre le 1/01/2008 et le 1/01/2009?
1 Un indice boursier passe de I0=100 à I1=107.
a) Donner son coefficient multiplicateur et indiquer le pourcentage d’augmen- tation correspondant
b) Cet indice diminue ensuite de 7%. Donner le nouvel indice I2. 2 Traduire par un coefficient multiplicateur
a) augmenter de 7% ; b) augmenter de 20%
c) augmenter de 0,5% d) augmenter de 120%
e) diminuer de 10% f) diminuer de 1,2%
g) diminuer de 95% h) diminuer de 50%.
A
Activité 1
Activité 2
Cours
1
Différentes façons d’exprimer une variation
Définitions
On considère une quantité passant de la valeur initiale V1 à la valeur finale V2. a) La variation absolue est la quantité V – V .2 1
b) Le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel il faut multiplier V1 pour obtenir V2.
On le note souvent CM. On a donc : V2=CM V× 1 soit CM =V
V21
c) La variation relative est le quotient : V V V
2 1
1
−− .
d) Le pourcentage d’évolution ou le taux d’évolution est la variation relative exprimée en pourcentage. Ainsi, pour une évolution de t % (t > 0 s’il s’agit d’une augmentation et t < 0 s’il s’agit d’une diminution)
t
100= 2 1
1
V V
V
−− ou encore t V V
= 2V 1 100 1
−− × Expliquons cette dernière définition.
Si à la suite d’une évolution de t %, une quantité passe de V1 à V2 , on a :
V t
1+100× =V V1 2 soit V t
11 V2
( +100)= . On en déduit : 1
100 21 + t =V
V soit t V V
V V 100 2 1 V
1
2 1
1
= − = − .
Vous avez peut-être appris dans votre cours d’économie ou de géographie de seconde que le taux d’évolution t % est donnée par le quotient : valeur finale valeur initiale
valeur initiale
− .
Ce résultat est en accord avec la formule : t V V 100= 2V−1 1
− Pour une augmentation (ou hausse), V2>V1 donc V V2− >1 0 ; CM > 1 et t >0.
− Pour une diminution (ou baisse), V2<V1 donc V2− <V1 0 ; 0 < CM < 1 et t < 0.
− La formule t V V
100 2 1
1
= − peut aussi se lire t CM 100= −−1.
Le pourcentage d’évolution est égal au coefficient multiplicateur moins 1.
Remarque
B
Un voyage valait 240€ le premier janvier 2010. Il vaut 276€ le premier janvier 2011.
a) La variation absolue du prix du voyage est donc de 276 − 240 = 36 soit 36€.
Cette variation (ici une hausse) est absolue.
b) Le coefficient multiplicateur est : CM=276= 240 115, . c) La variation relative est : 276 240
240 36 240 0 15
− = = , .
d) Le taux d’évolution du voyage est de 0 15 15
, =100 soit 15%. Le voyage a donc augmenté de 15 % entre le premier janvier 2010 et le premier janvier 2011.
Un ordinateur haut de gamme valait 2 000€ le premier janvier 2010. Il vaut 1 728 € le premier janvier 2 011.
a) La variation absolue du prix de l’ordinateur est donc de 1 728 − 2 000 = −272 soit −272€.
Cette variation (ici une baisse) est absolue.
b) Le coefficient multiplicateur est : CM=1 = 0 864 728
2 000 , . c) La variation relative est : 1 728 2 000
2 000
272
2 0 136
000
− = − = − , . d) Le taux d’évolution du voyage est de −0 136= −13 6
, 100, soit −13,6%. Le voyage a donc baissé de 13,6% entre le premier janvier 2010 et le premier janvier 2011.
2
Lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur
La propriété suivante est d’un intérêt pratique très important.
Propriétés
Augmenter une quantité de t % revient à la multiplier par CM= +1 t 100. Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par CM t
=1–
100.
E Exemple 1
E Exemple 2
Démonstration
Si on augmente une quantité Q de t %, cela revient à rajouter à la quantité Q la quantité t
100×Q.
On obtient la quantité Q t + ×Q
100 .
Or Q t
Q Q t
+ × = +
100 1
( 100)
La quantité Q a donc bien été multipliée par 1 +100t
suite à l’augmentation de t %.
Si on diminue une quantité Q de t %, cela revient à soustraire de la quantité Q la quantité t
100×Q. On obtient la quantité Q t
− ×Q
100 .
Or Q t
Q Q t
− × = −
100 1
( 100)
La quantité Q a donc bien été multipliée par 1
−100t
suite à la diminution de t %.
Lorsque l’on diminue une quantité de t %, le pourcentage de variation de cette quantité est de −t%.
Ceci explique la cohérence des affirmations :
E t
100=CM−1 où t
100 désigne le pourcentage de variation qui sera donc négatif dans le cas d’une diminution et
E Diminuer une quantité de t % revient à la multiplier par CM t
= 1−100 où t est ici positif.
Remarque
Une augmentation de 50% donne un coefficient multiplicateur CM= +1 50 =
100 1 5, .
Une augmentation de 7% donne un coefficient multiplicateur CM= +1 7 =
100 1 07, .
Une diminution de 20% donne un coefficient multiplicateur CM= −1 20 = 100 0 8, . Une diminution de 3,5 % donne un coefficient multiplicateur CM= −1 3 5=
100, 0 965, .
L’augmentation de l’exemple 1 de 15% correspond bien à un coefficient multi- plicateur CM= +1 15 =
100 115, .
E Exemple 1
La diminution de 13,6% de l’exemple 2 correspond bien à un coefficient multi- plicateur de CM= −1 13 6=
100, 0 864 . ,
a) On peut avoir des augmentations de plus de 100 % mais pas de diminu- tion de plus de 100%.
b) La propriété précédente permet aussi de retrouver le pourcentage d’évo- lution à partir du coefficient multiplicateur.
CM=1 8= +1 80
, 100 correspond à une augmentation de 80 %.
CM=1 04= +1 4
, 100 correspond à une augmentation de 4 %.
CM=1196= +1 19 6
, 100, correspond à une augmentation de 19,6 %.
CM= = +3 1 200
100 correspond à une augmentation de 200 %.
CM=0 3= −1 0 7 1= − 70
, , 100 correspond à une diminution de 70 %.
CM=0 86= −1 0 14 1= − 14
, , 100 correspond à une diminution 14 %.
Remarque
3
Indices et évolution
On utilise souvent les indices pour prendre connaissance de l’évolution d’une valeur à partir d’une date fixée.
Indice année = valeur de l'année valeur de l
n n
''année de base ×100.
Le calcul des indices permet de comparer plus aisément les évolutions par rap- port à l’année choisie pour base, dite encore année de référence et qui a pour indice 100.
Considérons par exemple le tableau suivant fourni par l’INSEE :
2004 2005 2006 2007 2008
Nombre de personnes
percevant le RMI en milliers 1238,5 1289,5 1278,8 1172,1 1142,0 Choisissons pour année de référence l’année 2004.
Il suffit alors pour avoir les différents indices demandés de compléter le tableau par proportionnalité en utilisant par exemple la formule donnant l’indice utilisé ci-dessus.
Remarquons que l’on peut obtenir aisément ces indices en utilisant l’éditeur de listes d’une calculatrice ou d’un tableur.
a) Avec une calculatrice, type TI
Pour cela, on peut, sur une calculatrice type TI, à partir du menu STAT édit
E entrer dans L1 le nombre de personnes (en milliers) percevant le RMI
E En se positionnant sur L2 , écrire la formule 100*L1/L1(1) ou 100*L1/1238.5 qui va ligne par ligne appliquer la formule
Indice année = 100 valeur de l'année valeur
n × n
dde l'année de base On obtient alor
b) Avec une calculatrice type casio, dans le menu LIST,
E entrer dans List 1 le nombre de personnes (en milliers) percevant le RMI
E Sélectionner ensuite le menu RUN, puis OPTN.
En F1, apparaît le mot LIST, qui va nous permettre d’effectuer des calculs sur les listes de nombre.
Ecrire alors à l’écran, 100*List 1÷ 1238.5→ List 2 puis EXE.
La calculatrice répond « done », ce qui signifie que dans le menu LIST, on a dans la List 2, les indices recherchés.
On peut reporter ces valeurs dans le premier tableau en les arrondissant à 0,01% près.
2004 2005 2006 2007 2008 Nombre de personnes
percevant le RMI en milliers 1238,5 1289,5 1278,8 1172,1 1142,0 Indice base 100 en 2004 100 104,12 103,25 94,64 92,21
Pour obtenir les arrondis souhaités à l’aide de la calculatrice, on peut
E Sur une calculatrice type TI, choisir mode Float et le nombre de décimales souhaitées.
E Sur une calculatrice de type casio, choisir dans le menu RUN, shift set up, display Fix et le nombre de décimales souhaitées.
Remarque
On lit alors aisément qu’entre 2004 et 2005, l’indice étant passé de 100 à 104,12, le pourcentage d’augmentation du nombre de personnes percevant le RMI entre 2004 et 2005 est de 4,12% puisque
CM t
=104 12= + = + 100 1 4 12
100 1 100
, ,
.
De même, entre 2004 et 2008, le pourcentage de diminution de personnes rece- vant le RMI est de 7,79% puisque
CM t
=92 21= − = − 100 1 7 79
100 1 100
, ,
.
On aurait pu calculer les variations en pourcentage de chaque année par rapport à l’année 2004 à la calculatrice en entrant dans L3 la formule : L3 = L2−100.
En effet, en soustrayant 100 à un indice, on lit directement le pourcentage d’évolution de l’année de référence à l’année n, ce qui est un des intérêts majeurs de l’utilisation des indices.
Remarque
c) Avec un tableur
On aurait pu aussi copier ces données dans une feuille de tableur et effectuer les calculs à l’aide de recopies de formules.
Dans la cellule B3, il suffit d’écrire la formule = 100*B2/$B2.
En recopiant cette formule vers la droite, on obtiendra en cellule C3,
=100*C2/$B2(puisque le dollar fixe la caractère suivant ce dollar), ce qui cor- respond à l’application donnant le calcul de l’indice en 2005 base 100 en 2004, et en tirant cette formule jusqu’en F3, on obtiendra tous les indices recherchés.
De même, l’évolution en % par rapport à 2004 en rentant dans la cellule B4,
=B3-100 et en recopiant cette formule vers la droite jusqu’en F4.
Exercices d’apprentissage
Le tableau suivant donne les résultats au bac dans un lycée rennais
Année 2009 2010 2011
Nombre de candidats 246 258 271
Nombre de reçus 221 224 249
C
Exercice 1
1 Calculer le taux d’accroissement du nombre de candidats entre 2009 et 2011 2 Calculer le taux de réussite au bac chaque année pour ce lycée.
3 Calculer le taux d’évolution du pourcentage de réussite au bac sur la période 2009-2010 puis sur la période 2010-2011.
Recopier et compléter le tableau suivant :
Ancien prix en € 148 345 465
Nouveau prix en € 369,15 575
Coefficient multiplicateur 1,2
Evolution en % +15% −8%
Le taux de TVA sur les articles suivants est 19,6%.
1 Un article coûte 280 € HT ; calculer son prix TTC.
2 Un article coûte 203,32 € TTC ; calculer son prix HT et le montant de la TVA.
3 Le montant de la TVA sur un article est 41,16 € ; calculer son prix TTC.
Téléphonie mobile
15.0 30.0 45.0 60.0 75.0
milliers Parc national de téléphonie mobile
0.0
déc-07 juin-07 déc-08 Parc post-payé
juin-09 déc-09 juin-10 Parc prépayé
36,8 19,0
36,9 18,9
37,5 18,6
38,3 18,1
39,3 18,7
39,8 18,4
40,5 18,7
41,4 18,3
42,6 18,8
43,3 18,2
44,1 17,8 55,4 55,7 56,0 56,4 58,0 58,2 59,2 59,7 61,5 61,5 61,9
Volume national de SMS
déc-06 juin-07 déc-07 juin-08 déc-08 juin-09 déc-09 juin-10 Trafic SMS total Trafic SMS mensuel moyen par client 4,3
29 24 68 1012 1416 1820 2224 26en milliards
0 102030405060708090100120130140
unités
4,7 0 31
4,7 30
4,9 31
5,9 37
6,7 42
7,9 49
8,7 53
11,7 70
13,7 81
14,7 86
15,6 91
19,4 110
22,8 124
24,2 135
Source : Les chiffres du marché des mobiles : www.arcep.fr/index.php?id=10540
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
1 En juin 2009, le nombre de clients utilisant en France un service mobile fourni par un opérateur était de 59 177 200. De juin 2009 à juin 2010, ce nombre a augmenté de 4,56%.
Quel était alors le nombre de ces clients en juin 2010 ?
2 En juin 2009, la population française était estimée à 64 171 800 habitants.
En juin 2010, celle-ci était estimée 64 577 800 habitants.
Déterminer pour ces deux années le pourcentage du nombre de clients uti- lisant un service mobile dans la population française (taux de pénétration).
3 En juin 2010, on comptabilisait les SMS échangés en France à 24 337 900 milliers d’unités.
De juin 2009 à juin 2010, ce nombre a augmenté de 65,26%.
Quel était le nombre d’unités de SMS échangés en France en juin 2009 ? 4 A l’aide d’une lecture graphique, déterminer le pourcentage d’augmentation
du nombre de clients utilisant en France un service mobile fourni par un opé- rateur de décembre 2007 à juin 2010.
Baisse démographique
1 L’INED (Institut national d’études démographiques) prévoit que le japon comp- tant actuellement 127, 6 millions d’habitants (estimation 2009) en comptera 95 millions en 2050.
Quel est le pourcentage de baisse de population prévu sur la période 2009- 2050 au Japon ?
2 L’Allemagne compte actuellement 82 millions d’habitants (2009) et l’INED a prévu une baisse de 13,4% de ces habitants d’ici 2050. Combien comptera-t- elle alors d’habitants en 2050 ?
3 L’INED prévoit en Russie une baisse de 21,2% de ces habitants jusqu à 1950 et qu’elle n’en comptera plus alors que 117 millions. Quel est le nombre d’ha- bitants aujourd’hui en Russie (2009) ?
Possible ou impossible ?
La population d’une ville a augmenté de 205% en 30 ans La population d’une ville a diminué de 120% en 50 ans.
Si le taux de TVA sur les DVD passait de 19,6% à 5,5%, quel serait le pourcentage de diminution du prix de vente TTC des DVD ?
En début de marché, deux marchands vendent une même variété de pomme de terre au même prix. En fin de marché, un premier vendeur de pommes de terre propose « Ici, 20% de produit en plus ». Son voisin, pour la même variété de pommes de terre propose « Ici, 20% de remise ».
Vaut-il mieux acheter chez le premier vendeur ou chez son voisin ?
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Le ministère de l’éduction nationale français fournit les chiffres suivants indi- quant tous les dix ans les effectifs d’élèves et d’étudiants à chaque rentée depuis 1980 selon les différentes catégories (premier degré, second degré, supérieur) et hors enseignement agricole (qui dépend du ministère de l’agriculture).
1980-1981 1990-1991 2000-2001 2010-2011
Premier degré 7396,3 6953,4 6552 6611,1
Second degré 5309,2 5725,8 5614,4 5370,8
Supérieur 1184,1 1717,1 2160,3 2347,7
Total 13889,6 14396,3 14326,7 14329,6
1 Déterminer les indices base 100 en 1980-1981, arrondis à 0,1 près. Comparer alors l’évolution des effectifs dans chaque niveau d’éducation.
2 a) Calculer la proportion des étudiants dans la totalité des scolarisés pour chacune des rentrées (1980, 1990, 2000, 2010).
b) Comparer l’évolution de cette part pour chaque décennie.
Le ministère de l’écologie fournit les données suivantes sur l’évolution du prix du gazole entre les années 2000 à 2009.
1 Recopier ces données dans une feuille de tableur et insérer un graphique montrant selon les années à la fois le prix de vente TTC et le prix de vente hors taxe.
2 Compléter les colonnes C, D et F.
3 Commenter les résultats obtenus.
Exercice 9
Exercice 10
Les médias sont-ils fâchés avec les pourcentages ? (d’après APMEP, IREM de Lorraine).
Les trois extraits de journaux ou revues ci-dessous peuvent comporter des erreurs ou des ambiguïtés. Il s’agit d’y rechercher les éventuelles erreurs.
1 à propos de vols dans un petit village des Alpes
(…) Car, même si sa commune figure dans l’arrière pays, elle n’est pas à l’abri de la délinquance, face à laquelle la gendarmerie serait démunie, faute de moyens.
« Il faut relativiser les choses, tempête-t-on à la gendarmerie de Puget-Théniers.
L’an dernier il n’y a pas eu de vols. Alors si cette année il y en a eu trois, ça lui fait tout de suite 300% d’augmentation ».
2 à propos du prix de revient des CD
(…) Fiable, inaltérable, inusable, le CD a sauvé la musique des couacs et les mai- sons de disques de la faillite. Histoire d’un miracle :(…) En quatre ans, les prix ont chuté de 300%. Un CD sorti d’usine (support+boîtier+livret de 4 pages) revient royalement à 8,50 € HT.
3 à propos des transferts de joueurs de foot
Ce qui se passe depuis un mois dans la rubrique des transferts donne le vertige.
En quatre ans en France, le montant des transactions a quadruplé : 400% d’infla- tion, ce n’est pas si mal !
Exercice 11
3 évolutions successives, évolution réciproque
Activités
Les économies de Pierre
Pierre a 100 € d’économie. Il en dépense d’abord 30% puis de nouveau 10% de ce qui lui reste.
De quel pourcentage les économies de Pierre ont-elles baissé à la suite de ces deux opérations ?
Maillots de bain
Dans une grande surface, les maillots de bain augmentent de 10% au mois de juin. Pour les soldes du mois de septembre ils baissent alors de 10%. Retrouvent- t-ils leurs prix initiaux ?
Cours
1
évolutions successives
Introduction
Le chiffre d’affaires d’une entreprise était de 10 millions d’euros pour 2008. Il a chuté de 5% en 2009 puis a augmenté de 12% en 2010.
Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse de 5% est : CM1 1 5
100 1 0 05 0 95
= − = − , = , .
A la suite de la chute de 5%, soit pour 2009, le chiffre d’affaires de l’entreprise est donc, en millions d’euros, de :
10 0 95 9 5× , = , .
Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse de 12% est : CM2 1 12
100 112
= + = , .
A
Activité 3
Activité 4
B
A la suite de la hausse de 12%, soit pour 2010, le chiffre d’affaires est donc, en millions d’euros, de :
9 5 112 10 64, × , = , .
Le coefficient multiplicateur global correspondant à la suite des deux évolutions est donc de :
10 64
10 1 064 1 6 4 100
, , ,
= = + .
Le résultat d’une baisse de 5% puis d’une hausse de 12% est donc une augmen- tation de 6,4%
(et non de − + =5 12 6% comme on aurait pu le croire à priori).
Remarquons que pour trouver le chiffre d’affaires de 2010, on a multiplié celui de 2008 d’abord par
CM1=0 95, puis, on a multiplié ce résultat par CM2=112, .
Le chiffre d’affaires de 2010 est donc égal à celui de 2008 multiplié par 0 95 112, × , =CM CM1× 2.
Le coefficient multiplicateur global est donc égal au produit des coefficients mul- tiplicateurs des évolutions successives.
Propriétés
Lors de deux évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se mul- tiplient.
Si V0 →CM1 V1 →CM2 V2 alors CMglobal==CM1××CM2
Démonstration
Par définition du coefficient multiplicateur, on peut écrire, V CM V1= 1× 0 et V2=CM2×V1.
On en déduit donc V2=CM2×CM V1× 0.
On obtient donc V2 à partir de V0 en multipliant V0 par CM CM1× 2.
Le coefficient multiplicateur global est donc bien égal au produit des coefficients multiplicateurs.
Généralisation
Lors d’évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient.
Un indice boursier diminue de 25% puis augmente successivement de 5% et de 20%.
Cet indice est-il revenu à sa valeur de départ ?
Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse de 25% est CM1 1 25
100 0 75
= − = , .
Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse de 5% est CM2 1 5
100 1 05
= + = , .
Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse de 20% est CM3 1 20
100 1 20
= + = , .
Le coefficient multiplicateur global est donc :
CMglobal=CM CM1× 2×CM3=0 75 1 05 1 20 0 945, × , × , = , .
Ce coefficient multiplicateur global est inférieur à 1 ; globalement cet indice boursier a donc baissé.
Comme 0 945 1 0 055 1 5 5
, = − , = −100, , on peut en déduire que cet indice boursier a baissé de 5,5%.
Il n’est donc pas revenu à sa valeur de départ.
2
évolution réciproque
Introduction
Un prix augmente de 25%. Quel est le pourcentage de diminution qui permet de revenir au prix initial ?
La réponse d’une diminution de 25% qui peut venir à l’esprit est fausse puisque : CMglobal =CM CM1× 2= +1 25 − = × =
100 1 25
100 1 25 0 75 0
( )( ) , , ,, ,
. 9375 1 6 25
= −100
Si on augmente de 25% et que l’on diminue ensuite de 25%, cela revient à une baisse de 6,25 %.
On peut aisément expliquer la baisse globale par le fait que l’on retire 25% d’une somme plus forte que celle du départ à laquelle on avait appliqué la hausse de 25%.
Pour revenir au prix initial, il faut trouver un CMglobal égal à 1.
Notons t’% le pourcentage de diminution cherché compensant la hausse de 25 %.
E Exemple
On doit avoir :
1 1 25
100 1
100 1 25 1
1 2
=CM =CM CM× = + − t = − t
global ( )( '
) , ( '
1100).
On en déduit : 1 100
1 1 25 0 8
− t ' = = , , soit t ' ,
100=0 2, soit t '=20.
Une hausse de 25% est donc compensée par une baisse de 20%.
Quel pourcentage de hausse faut-il appliquer pour compenser une baisse de 40% ? Une baisse de 40% correspond à un coefficient multiplicateur de
1 40
100 1 0 4 0 6
− = − , = , .
Le coefficient multiplicateur de l’évolution réciproque cherché est l’inverse de 0,6 soit 1
0 6 1 6667 1 66 67 100
, , ,
≈ = + .
Le pourcentage de hausse compensant une baisse de 40% est donc une hausse d’environ 66,67%.
Exercices d’apprentissage
Le prix du m3 de gaz a subi en France, en 2005, une augmentation de 7,5% au mois de Mai et de 2,5% au mois de Décembre.
De quel pourcentage le prix du gaz a-t-il augmenté en France en 2005 ? Propriétés et définition
Le taux de pourcentage t ’ % compensant une évolution (hausse ou baisse) de t % est appelé taux d’évolution réciproque.
Pour le déterminer, on traduit que le produit des coefficients multiplicateurs correspondants à ces évolutions doit être égal à 1, soit :
(1+100)(1+ ' 100) = 1
t t
Les coefficients multiplicateurs de deux évolutions réciproques sont donc inverses l’un de l’autre.
E Exemple
C
Exercice 12
Le nombre d’adhérents d’une médiathèque a diminué de 7% entre le 1er Janvier 2009 et le 31 Décembre 2009 et a augmenté de 8% entre le 1er Janvier 2010 et le 31 Décembre 2010.
Le nombre d’adhérents a-t-il augmenté ou diminué entre le entre le 1er Janvier 2009 et le 31 Décembre 2010 ?
Compléter le tableau suivant
Première étape Deuxième étape Résultante
augmentation de 20% augmentation de 10% augmentation de 32%
augmentation de 10% diminution de 10%
augmentation de 10% augmentation de 20%
augmentation de 10% augmentation de 10%
diminution de 20% diminution de 20%
augmentation de 10% diminution de 5%
augmentation de 25% diminution de 20%
diminution de 3,2% diminution de 6,8%
augmentation de 12,5% augmentation de 38,75%
diminution de 25% diminution de 36,25%
diminution de 36% résultat constant
augmentation de 20% résultat constant
Un propriétaire augmente un loyer de 8% chaque année.
1 Calculer le loyer au bout de 5 augmentations successives, connaissant le loyer initial de 165€ (arrondir à 1€ près).
2 En combien d’années le loyer aura-t-il plus que doublé ?
Dans une entreprise, le prix de vente d’un objet manufacturé est égal à 98€ au 1er janvier 2010.
En cours d’année, le prix de cet objet augmente successivement de 15%, puis de 7%. Il diminue ensuite de 9% et augmente de 3% en fin d’année.
Quel est le prix de cet objet le 1er janvier 2011 ?
La production de blé dans l’union Européenne en milliers de tonnes est consignée dans le tableau suivant :
1/07/2007 au 30/06/2008 1/07/2008 au 30/06/2009 1/07/2009 au 30/06/2010
120 151 139
Source :UDSA/GRAIN
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
Exercice 17
On appellera première période la période du 1/07/2007au 30/06/2008, seconde période la période du 1/07/2008 au 30/06/2009 et troisième période la période du 1/07/2009 au 30/06/2010.
1 Quel est le pourcentage de variation de la production de blé de la première période à la seconde période ?
2 Quel est le pourcentage de variation de la production de blé de la seconde période à la troisième période ?
3 En déduire, en multipliant les coefficients multiplicateurs, le pourcentage de variation de la production de blé entre la première période et la troisième période.
4 Vérifier ce résultat à l’aide d’un calcul direct.
Le propriétaire d’un cinéma analyse la fréquentation de ses salles : entre Janvier et Février, elle a augmenté de 7% et entre Janvier et Mars, elle a baissé de 2%.
En utilisant les indices, déterminer l’arrondi à l’unité du taux de pourcentage d’évolution de la fréquentation de ses salles entre Février et Mars.
1 Le prix d’un article augmente de 20%.
Calculer le pourcentage de variation qu’il faut appliquer pour le ramener à son prix normal.
2 Même question pour
a) une augmentation de 100%
b) une augmentation de 200%
c) une diminution de 30%
Une action cotée à la bourse de Paris subit, sur trois jours, les variations suivantes.
Premier jour : +15,3% ; deuxième jour : –42% ; troisième jour :+69%.
A l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi au dixième du taux de variation journalier t qui, appliqué successivement les trois jours considérés, aurait produit le même effet.
Ce taux est appelé taux moyen d’évolution.
Exercice 18
Exercice 19
Exercice 20
4 Complément sur
calculatrices et tableur
Calculs de variations relatives
Les chiffres suivants sont extraits d’images économiques du monde 2011.
Ils concernent l’évolution de prises de maquereau espagnol de 2000 à 2007.
Les chiffres sont exprimés en millions de tonnes.
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
1,47 1,81 1,47 1,85 2,00 2,01 2,03 1,71
Déterminons le pourcentage d’évolution de ces prises d’une année à l’autre.
Pour avoir le pourcentage d’évolution de l’année n à l’année n + 1, il suffit de savoir qu’il est égal à :
100×valeur l'année + −1 valeur l'année valeur l
n n
''annéen a) Avec une calculatrice
Rentrons les données de prises dans la première liste L1.
Puisque l’on va devoir faire le calcul, valeur l’année n + 1 – valeur l’année n, on peut recopier dans L2 la liste des valeurs mais en partant de 1,81. En face de 1,71, nous pourrons écrire 1,71 en supposant qu’il n’ y a pas d’évolution entre 2007 et 2008.
Nous pouvons donc avec une calculatrice de type TI nous positionner sur L3 et écrire la formule =100*(L2–L1)/L1.
Avec une calculatrice de type casio, écrire dans le menu RUN l’expression : 100*(LIST 2 – LIST 1)/LIST 1→ LIST 3.
Nous obtiendrons ainsi en première ligne de L3, le taux d’évolution, exprimé en pourcentage, de prises de maquereau entre les années 2000 et 2001, augmen- tation de 23,13%, en deuxième ligne de L3, celui entre les années 2001 et 2002, diminution de 18,78%, etc.
b) Avec un tableur
On recopie les données en colonne A et B.
Pour avoir le pourcentage d’évolution entre 2000 et 2001, il suffit d’écrire en cellule C3,la formule :
=(B3-B2)/B2 qui traduit la formule valeur l'année valeur l'année valeur l'ann
n+ −1 n
ééen , de sé-
lectionner la colonne C et de cliquer sur l’icône % en première ligne.
On obtient alors en cellule C3 le pourcentage d’évolution de prises de l’année 2001 à l’année 2002.
En recopiant la formule vers le bas, on obtient tous les pourcentages d’évolution demandés.
Le tableur (open calc) permet aussi de visualiser les données aisément.
On peut insérer un diagramme type « colonne », après avoir sélectionner les co- lonnes A et B.
On coche ensuite les cases correspondant à : Séries données en colonnes
Première ligne comme étiquette Première colonne comme étiquette et on obtient le graphique ci-dessus.
5 Synthèse du cours
1
Pourcentage d’évolution
Lorsqu’une quantité passe d’une valeur V1 à une valeur V2 , le coefficient mul- tiplicateur associé est :
CM =V V21.
Le pourcentage d’évolution relative t % entre V1 et V2 est défini par :
t V V
V 100= 2 1
1
− , soit t
100=CM−−1.
Si t > 0, l’évolution est une hausse.
Si t < 0, l’évolution est une baisse.
2
Coefficient multiplicateur et évolution
Augmenter une quantité de t% revient à la multiplier par CM t
= 1+100. Diminuer une quantité de t% revient à la multiplier par CM t
= 1−−100.
3
Indices et évolution
On utilise souvent les indices pour prendre connaissance de l’évolution d’une valeur à partir d’une date fixée.
Indice année = valeur de l'année valeur de l
n n
''année de base ×100.
En soustrayant 100 à un indice, on lit directement le pourcentage d’évolu- tion de l’année de référence à l’année n.
4
évolutions successives
Lors de deux évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient.
Si V0 →CM →1 V1 CM2 V2 alors CMglobal=CM1×CM2
Généralisation
Lors d’évolutions successives, les coefficients multiplicateurs se multiplient.
5
évolution réciproque
Le taux de pourcentage t’ % compensant une évolution (hausse ou baisse) de t % est appelé taux d’évolution réciproque.
Pour le déterminer, on traduit que le produit des coefficients multiplicateurs cor- respondants à ces évolutions doit être égal à 1, soit :
( )( '
) 1 100 1
100 1
+ t + t =
Les coefficients multiplicateurs de deux évolutions réciproques sont donc inverses l’un de l’autre.
6 Exercices d’approfondissement
1 La TVA sur certains produits est 19,6% ; recopier et compléter le tableau suivant
Produit A B C D
Prix hors taxe (€) 55 90
Prix taxes comprises (€) 143,52 299
2 A la suite d’une décision ministérielle, le taux de TVA est ramené de 19,6%
à 5,5% ; calculer les nouveaux prix taxes comprises des produits A, B, C et D.
3 Pour un article quelconque, on note : x, son prix hors taxe y , son prix taxe à 19,6% comprise
z, son prix taxe à 5,5% comprise.
a) Exprimer y en fonction de x, z en fonction de x, puis z en fonction de y.
b) En déduire le pourcentage de la réduction dont bénéficient les consomma- teurs lors de cette baisse de TVA.
1 Ci-dessous figure un document concernant les déclarations d’impôts 2008.
Dépenses
(en milliards d’Euros) 341,4 Recettes 299,7
Enseignement
et recherche 82,3 TVA 135
Collectivités territoriales 53,6 Impôt sur le revenu 60,5 Dettes et engagements
financiers 42,8 Impôt sur les sociétés 53,8
Défense 36,9 TIPP 16,5
Travail, emploi et solidarité 24,5 Autres recettes fiscales 5,8
Sécurité et justice 22,4 Autres recettes 28 ,1
Union européenne 18,4 Déficit 41,7
Ecologie, développement et aménagements durables, ville
et logement.
16,1
Autres missions 44,4
Exercice I
Exercice II
1 Construire le tableau des pourcentages que représente chacune des rubriques du poste dépense par rapport à la dépense totale. Les calculs seront effectués avec les outils vous convenant et donnés à 0,01 près.
2 Le tableau suivant est issu d’une feuille de calcul concernant les recettes
a) La ligne 6 est au format pourcentage. Indiquer ce qu’il faut écrire dans la cellule A6 pour faire apparaître le pourcentage que représente la TVA dans les recettes ( à 0,01% près) puis celui représenté par les autres recettes en étendant jusqu’à la cellule F6.
b) Représenter le tableau obtenu.
3 Si on souhaitait diminuer le déficit de 10% par augmentation de la recette « TVA », de quel pourcentage cette recette TVA prévue devrait-elle être augmentée ? 4 Si on diminuait la dépense « Défense » de 15%, de quel pourcentage le déficit
serait-il diminué ?
5 On se propose d’abaisser le déficit de 2 milliards d’Euros sur deux ans en agissant sur la dépense « Sécurité et justice ». Si on effectue une même baisse d’un milliard d’euros chaque année, à quoi cela correspondra-t-il en pourcen- tage d’évolution de la dépense « sécurité et justice » la première année, puis la seconde année. Pour cette question, les calculs seront faits à 0,001% près.
Lorsqu’on place une somme d’argent à un taux d’intérêt annuel de t %, le taux d’évolution du capital initial acquis au bout d’un an est de t %.
1 Jean a placé 3000€ au taux d’intérêt annuel de 4,5%. Calculer le capital ac- quis par Jean et le montant des intérêts.
2 Un capital C a été placé à un taux d’intérêt annuel de 2,5%. Le capital acquis au bout d’un an est 7 687,5€. Déterminer C et le montant des intérêts.
3 Un capital de 1 500€ a été placé par Julie à t %. Déterminer t sachant qu’au bout d’un an Julie a gagné 105€.
Le taux d’inflation sur une année est le taux d’évolution des prix entre le début et la fin de l’année.
1 Le taux d’inflation en France est estimé à 1,65% pour l’année 2010.
a) Quel sera, à la fin de l’année 2010, le prix d’un produit qui valait 1 000 € en début d’année ?
b) Quel était en début de l’année le prix d’un article qui vaudra 1 000 € en fin d’année ?
2 Répondre au même question pour le Venezuela où le taux d’inflation est es- timé à 30%.
Exercice III
Exercice IV
On peut lire dans « images économiques du monde 2011 » le paragraphe suivant concernant la suppression d’emploi de fonctionnaires depuis 2007.
Les mesures les plus spectaculaires concernent la réduction des effectifs de la fonction publique d’état :
–23 000 en 2008, –30 600 en 2009, –33 700 prévus en 2010, sur un total de 2,5 millions au début de cette même année.
1 Déterminer le pourcentage de diminution du nombre de fonctionnaires prévus en 2010.
2 Déterminer le pourcentage de diminution du nombre de fonctionnaires en 2009 et en 2008.
On donne en TeraWatt/heure (1012 watt/heure) la production d’électricité hy- draulique de trois pays
Année 1980 1990 2000 2009
Etats-Unis 282,2 295,8 278,4 274,9
Chine 58,2 126,7 222,5 615,6
France 69,5 53,8 67,8 57,7
1 Calculer les indices, base 100 en 1980, arrondis à 0,1 près (on pourra utiliser une calculatrice un tableur).
2 Comparer alors l’évolution de la consommation dans ces trois pays.
3 L’évolution entre 2008 et 2009 et de +7,1% pour les Etats-Unis, +5,5% pour la Chine et – 4,2% pour la France.
Déterminer le production d’électricité hydraulique pour ces trois pays en 2008.
Lors d’une année exceptionnelle, la production de fruits et de légumes d’un agricul- teur a augmenté de x %. Vu l’abondance de ces produits, leur prix a chuté de y %.
1 Exprimer en fonction de x et y le taux d’évolution de la recette de cet agricul- teur par rapport à une année normale.
2 Etude de quelques exemples a) Etudier le cas où x = 40 et y = 30.
b) Etudier le cas où x = 30 et y =20.
c) Si x = 40, quelles valeurs peut-on donner à y pour que la recette de l’agri- culteur soit au moins égale à celle d’une année normale ?
1 Un article valant 250 € subit d’abord une augmentation de 25% puis une diminution à un taux inconnu de y %. Calculer y sachant que le prix final de l’article est à nouveau de 250€.
Exercice V
Exercice VI
Exercice VII
Exercice VIII
2 a) Un prix P subit une hausse de x % suivi d’une baisse de y %. Il revient alors à sa valeur initiale P.
Montrer que y x
=x + 100
100.
b) f est la fonction définie sur [0 ; 100] par f x x
( )=x .
+ 100
A l’aide d’un grapheur ou d’une calculatrice, tracer la courbe représentant 100 f dans un repère orthogonal.
3 Un commerçant solde les articles en affichant une baisse de 40%, ce qui cor- respond en fait à les vendre à leur prix de revient.
Utiliser le graphique du 2 pour trouver le pourcentage d’augmentation qu’il faisait sur ces articles avant de les solder.
■
