A725- Huit sacs
Problème proposé par Augustin Genoud
Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 100 billes. Six sacs ont uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer le poids des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique.
Par convention et sans perte de généralité, on retient 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ …. ≤ h.
Déterminer le nombre de billes qu'il convient d'extraire de chaque sac dans les deux cas suivants :
- le nombre total de billes sorties des sacs est le plus petit possible ; - le terme h est le plus petit possible ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Il faut que les valeurs absolues des 28 différences entre les a, b… h pris deux à deux soient toutes différentes et différentes de 0.
Notons xij la différence i – j (i et j étant des nombres de la liste a, b… h, avec i > j).
Notons S la somme a + b + c + …. + h. Si toutes les billes étaient de 10g, le poids total serait 10S.
Si le poids total est supérieur à 10S de xij c'est que le sac i contient des billes de 11g et le sac j des billes de 9g.
Si le poids total est inférieur à 10S de xij c'est que le sac i contient des billes de 9g et le sac j des billes de 11g.
Si les xij sont tous différents, connaissant la valeur de xij, on peut déterminer i et j.
Comme, de toute solution, on peut en déduire une autre par soustraction d'un même nombre de tous les a, b… h, ce qui évidemment ne change pas les différences, il vaut mieux, toutes choses égales par ailleurs, prendre a = 0, c’est-à-dire ne pas prendre de billes dans le sac A.
Une solution est :
a b c d e f g h
0 1 3 8 14 18 30 39 Elle utilise un total S de 113 billes.
Elle est obtenue en partant de 0, 1, 3, ce qui donne les différences 1, 2, 3 et en tentant ensuite de minimiser (empiriquement) la somme en prenant chaque fois la plus petite des différences disponibles (ou la seconde, en tâtonnant) et en s'assurant à chaque pas qu'il n'y a pas de duplication des différences.
Rappelons le principe de l'application à la recherche, en une seule pesée, de celui des sacs qui ne contient que des billes de 11 g et de celui qui ne contient que des billes de 9 g.
Si toutes les billes étaient de 10g, le poids total serait 1130g.
Si, par exemple, il vaut 1157g, comme la différence de 27 ne peut être qu'entre 3 et 30, c'est que le sac G contient des billes de 11g et le sac C des billes de 9g.
Si le poids total est de 1120g, comme la différence de – 10 ne peut être qu'entre 18 et 8, c'est que le sac D contient des billes de 11g et le sac F des billes de 9g.
Si le poids total est de 1130g moins 1, 3, 8, 14, 18, 30 ou 39, c'est que le sac A (duquel on n'a pourtant pris aucune bille) contient des billes de 11g.
Au titre du premier critère (minimum du nombre total de billes), la solution ci-dessus :
a b c d e f g h
0 1 3 8 14 18 30 39
où le nombre total de billes sorties des sacs est 113, pourrait être optimale.
Au titre du second critère (minimum de h), une solution candidate pourrait être :
a b c d e f g h
0 1 4 9 15 22 32 34
où le nombre total de billes sorties des sacs est 117, mais où h n'est que de 34.
