A725. Huit sacs
A7. Problèmes de pesées
Problème proposé par Augustin Genoud
Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 100 billes. Six sacs ont uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de
déterminer le poids des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique.
Sans perte de généralité, on retient 0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ …. ≤ h.
Déterminer le nombre de billes qu'il convient d'extraire de chaque sac dans les deux cas suivants :
- le nombre total de billes sorties des sacs est le plus petit possible.
- le terme h est le plus petit possible.
Solution proposée par Jean Nicot
Soit S le nombre total de billes de la pesée. S=a+b+c+d+e+f+g+h. Ces 8 valeurs sont toutes différentes. La pesée fournira 10S+i-j où i est le nombre de billes lourdes et j de billes légères.
Il convient donc de choisir les valeurs a à h de sorte que les différences 2 à 2 soient inégales et la différence i-j donnera les 2 sacs anormaux et le signe de i-j déterminera le sac lourd.
1 - Minoration du nombre total de billes pesées
a b c d e f g h
valeurs 0 1 3 8 14 18 30 39 Total = 113 h=39 différences avec a 1 3 8 14 18 30 39
différences avec b 2 7 13 17 29 38 différences avec c 5 11 15 27 36
différences avec d 6 10 22 31 aucune différence 19,20,23,24,26,28 différences avec e 4 16 25 32,33,34,35,37 différences avec f 12 21
différence avec g 9 2- Minoration du terme h
a b c d e f g h
valeurs 0 1 4 9 15 22 32 34 Total = 117 h=34 différences avec a 1 4 9 15 22 32 34
différences avec b 3 8 14 21 31 33 différences avec c 5 11 18 28 30
différences avec d 6 13 23 25 aucune différence 16, 20,24,26,27,29 différences avec e 7 17 19
différences avec f 10 12 différence avec g 2
Nota : ce problème fait penser aux règles de Golomb.
