NOMBRES COMPLEXES EXERCICES
I. Les questions sont indépendantes.
1. On pose z1 3 i. Montrer que z1
126 est un réel.
2. On donne z′ 5(k′)2 i 4(1 ik′)–k′. Déterminer les réels k′ tels que z est imaginaire pur.
3. Déterminer, s’il en existe, un réel a tel que a² a 1 3i 1 (2a 1)i II. On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal
Soit f la transformation qui à tout nombre complexe z non nul associe le nombre complexe f(z) z 1 z . On note M le point d’affixe z et M′ le point d’affixe f(z).
1. On appelle A le point d’affixe a 2 2
i 2 2 . a. Déterminer la forme exponentielle de a.
b. Déterminer la forme algébrique de f(a).
2. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation f(z) 1.
3. Soit M un point d’affixe z du cercle de centre O et de rayon 1.
a. Justifier que l’affixe z peut s’écrire sous la forme z ei avec un nombre réel.
b. Montrer que f(z) est un nombre réel.
4. Décrire et représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit un nombre réel III. Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; u ; v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a 1 et b – 1.
On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M′ d’affixe z’ définie par : z’ =
1 1
z z .
1. Déterminer les points invariants de f c'est-à-dire les points M d affixe z tels que z z. 2.
On admet que, pour tout nombre complexe z différent de 1, (z′–1)(z 1) 2.
a. En déduire une relation entre z'1 et z1, puis entre arg(z′–1) et arg(z 1), pour tout nombre complexe z différent de – 1.
b. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles (penser à utiliser A et B).
c. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2 alors M′ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.
3. Soit D la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par A et la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par B.
Soit M un point de .
a. Montrer que (u AM) a pour mesure
2 ou 3 2 . b. Que peut-on en déduire pour le point M ?
IV. On définit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes zn par :
z0 16 zn 1 1 i
2 zn, pour tout entier naturel n.
On note rn le module du nombre complexe zn : rn | |zn .
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O, on considère les points An d’affixes zn. 1.
a. Calculer z1, z2 et z3.
b. Écrire le nombre complexe 1 i
2 sous forme trigonométrique.
c. Démontrer que le triangle OA0A1 est isocèle rectangle en A1. 2. Démontrer que la suite ( )rn est géométrique, de raison 2
2 . La suite ( )rn est-elle convergente ? Interpréter géométriquement le résultat précédent.
On note Ln la longueur de la ligne brisée qui relie le point A0 au point An en passant successivement par les points A1, A2, A3, etc. Ainsi Ln
k 0 n 1
AkAk 1 A0A1 A1A2 … An 1An. a. Démontrer que pour tout entier naturel n : AnAn 1 rn 1. b. Donner une expression de Ln en fonction de n.
c. Déterminer la limite éventuelle de la suite ( )Ln .
V.
1. Déterminer l’écriture exponentielle du nombre complexe u 1 i.
2. Déterminer, pour tout réel , la forme algébrique et l’écriture exponentielle du nombre complexe ei (1 i).
3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel , cos( ) sin( ) 2 cos
4 ..
VI.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u ; v ).
On considère le nombre complexe c 1
2ei3 et les points S et T d’affixes respectives c² et 1 c . Indiquer en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
Affirmation 1 : Le nombre c peut s’écrire c 1
4(1 i 3).
Affirmation 2 : Pour tout entier naturel n, c3n est un nombre réel.
Affirmation 3 : Les points O, S et T sont alignés.
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel non nul n, | |c | |c² … | |cn 1
1 2
n
.
