Vous traiterez le problème 1 et le problème 2. Ceux qui font un Dm plus dur traiteront le Problème 3 en plus

DM n ^◦ 4 à rendre mercredi 7 novembre 2018

Suites et séries numériques

Vous traiterez le problème 1 et le problème 2. Ceux qui font un Dm plus dur traiteront le Problème 3 en plus

Problème 1

On considère la suite (u_n)_n∈N dénie par la donnée deu₀∈Ret la relation de récurrence : ∀n∈N, u_n+1=u_n+u²_n. 1. Étudier la convergence de cette suite selon la position deu₀ par rapport à−1et à0.

2. On suppose dans cette question queu₀∈]−1,0[. On pose v_n=−un et a_n = 1 vn

− 1

vn−1. (a) Montrer quevn+1∼vn

(b) Montrer que la suite(an)converge vers une limite à déterminer.

(c) Déterminer un équivalent devn

(d) En déduire la nature des sériesX

v_n, X

sin(v²_n)etX

(−1)ⁿv_n. 3. On suppose dans cette question que(u_n)tend vers+∞.

(a) On considère la suite de terme général Pn = ln(un)

2ⁿ . En considérant la série(Pn+1−Pn), montrer que la suite(Pn)_n∈N converge. on noteλsa limite (λdépend donc deu0). On ne demande pas la valeur deλ Dans la suite, on supposerau0>0.

(b) Montrer que

• λest une fonction croissante deu0.

• λ >0.

• ∀n∈N, 0< λ−ln(un) 2ⁿ < 1

2ⁿ.un.

• Déterminer un équivalent deun

(c) Déterminer la nature de la sérieX 1

un et X(−1)ⁿn un .

Problème 2

Problème 3 : à propos des normes N











Rⁿ →R

u= (u1, ..., un) →

n

X

k=1

|uk|^p

!^1/p

oùpest un réel avec

p >1.

On montrera que ce sont des normes et on étudiera quelques propriétés de ces normes.

I. Montrons que N

est une norme

Dans toute cette questionpetq sont des réels strictement supérieurs à 1 tels que 1 p+1

q = 1 1. Soitu, v∈R^∗+. Montrer, en utilisant la concavité deln queuv6 u^p

p +v^q q . 2. Dans cette question on va établir l'inégalité de Holder :

n

X

k=1

|uk| |vk|6

n

X

k=1

|uk|^p

!^1/p _n X

k=1

|vk|^q

!^1/q

(hold)

(a) Soit(u₁, ..., u_n)∈(R^∗+)ⁿ tel que

n

X

k=1

|u_k|^p= 1 et(v₁, ..., v_n)∈Rⁿ tel que

n

X

k=1

|v_k|^q = 1. Etablir(hold)dans ce cas là.

(b) Dans le cas général, en considérantu⁰_k = uk

X|uk|^p1/p etv⁰_k= vk

X|vk|^q1/q conclure sur(hold). 3. (a) Justier que|uk+vk|^p6|uk|.|uk+vk|^p−1+|vk||uk+vk|^p−1

(b) pouru= (u1, ..., un)etv= (v1, ..., vn)montrer que Np(u+v)^p6

X

|uk|^p1/p

+X

|vk|^p1/p

.X

[uk+vk|^pq−q1/q

(c) Conclure sur l'inégalité triangulaire surNp. (d) Montrer que Np est une norme.

II. Une limite

Dans cette partie on supposen= 2.

1. Soitu∈R² xé (pour simplier les écritures, on prend icin= 2). Montrer que l'applicationp→Np(u)est une fonction décroissante dans[1,+∞[.

2. Montrer que lim

p→+∞Np(u) =||u||_∞