PROBLÈME 1 Jean-Louis Ayme
Une formule
VISION
Figure :
A B
I 0
P
N 3
2
1
Traits : 0 un cercle, R le rayon de 0,
[AB] une corde horizontale de 0,
S1, S2 les segments de cercle resp. sud, nord, P le milieu de [AB],
I le milieu de l'arc sud de S1, 1 le cercle de S1 de diamètre [IP], r1 le rayon de 1,
2 un cercle de S1, tangent à [AB] et intérieurement à 0, r2 le rayon de 2,
3 le cercle de S1, tangent à [AB], intérieurement à 0 et extérieurement à 1 et r3 le rayon de 3.
Donné : (r1.r2 + r1.r3 + r2 r3)² = 4.r1.r2 r3.R.
VISUALISATION
1 A relation expected, AoPS du 31/08/2019 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6h1907365_a_relation_expected
2
2
A B
I 0
P
N
1 J
Notons J le second point d'intersection de (IP) avec 0.
D'après ''Formules dans le triangle rectangle'' appliqué au triangle A-rectangle AIJ,
* PI.PJ = AP² = (AB/2)² :
par substitution et réarrangement, AB² = 16.r1.(R – r1).
* IA² = IP.IJ ;
par substitution et réarrangement, IA² = 4.r1.R.
A B
I K
0
P
N 2
1 M
1*
Notons K le point de contact de 2 avec [AB], 1* le cercle de centre I passant par A et M le point d'intersection de 1* avec 2.
D'après Problème 9 : KA.KB = 2.r1.IP
par substitution et réarrangement, KA.KB = 4.r1.r2.
D'après Jakob Steiner ''Puissance d'un point par rapport à un cercle'' appliqué à K relativement à 0,
* KA.KB = IA² - KI²
* par substitution et réarrangement, KI² = 4.r1.R - 4.r1.r2.
3
3
A B
I K
0
P
N 2
1 M
1*
X L 3
Notons L le point de contact de 3 avec [AB]
et X le point d'intersection de (LM) et (AB).
Scolies : (1) 3 est tangent à 2 en M
(2) le triangle MKL est M-rectangle (3) X est le milieu de [KL]
(4) (IM) est resp. la M, I-médiane des triangles MKL, IKL.
Mutatis mutandis, nous montrerions que LI² = 4.r1.R - 4.r1.r3
D'après ''Ptolémée et Casey'' 2 KL² = 4.r2 r3.
Évaluation de IX :
* par différence, IX = IM – MX = IA – KL/2
* par élévation au carré, IX² = IA² + KL²/4 – IA.KL
* par substitution, IX² = 4.r1.R + r2 r3 – IA.KL.
Par ''La formule de la médiane''
* appliqué au triangle IKL, IK² + IL² = 2.IX² + KL²/2
* par substitution, 4.r1.R - 4.r1.r2 + 4.r1.R - 4.r1.r3 = 2.(4.r1.R + r2 r3 – IA.KL) + 2.r2 r3
* par réduction, 2.r1.r2 + 2.r1.r3 + 2.r2 r3 = IA.KL
* élévation au carré, 4.(r1.r2 + r1.r3 + r2 r3)² = IA².KL²
* par substitution, 4.(r1.r2 + r1.r3 + r2 r3)² = 16.r1.r2 r3.R
Conclusion : (r1.r2 + r1.r3 + r2 r3)² = 4.r1.r2 r3.R.
2 Ayme J.-L., John Casey ou une généralisation de Claude Ptolémée, vol. 43, p. 18 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
