MPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 2 pour le 27/09/13 29 juin 2019
Problème
Ce problème porte sur l'inégalité de Ptolémée (question 1.b) et ses cas d'égalité.
On désigne par m
1, m
2, m
3, m
4des nombres complexes deux à deux distincts et on introduit les notations
1suivantes :
P (m
1, m
2, m
3, m
4) = (m
2− m
1)(m
4− m
3) + (m
4− m
1)(m
3− m
2) B(m
1, m
2, m
3, m
4) = (m
2− m
1)(m
4− m
3)
(m
4− m
1)(m
3− m
2)
z
2= 1 m
2− m
1, z
3= 1
m
3− m
1, z
4= 1
m
4− m
11. a. Développer, simplier puis factoriser P (m
1, m
2, m
3, m
4) .
b. Démontrer l'inégalité de Ptolémée qui porte sur les distances et se formule de la manière suivante.
Si M
1, M
2, M
3, M
4sont des points deux à deux distincts d'un plan alors : M
1M
2· M
3M
4+ M
1M
4· M
2M
3≥ M
1M
3· M
2M
42. Cas d'égalité.
a. Soit a et b des nombres complexes non nuls. Démontrer, par un calcul, que
|a + b| = |a| + |b| ⇔ a b ∈ R
∗+b. Formuler une condition équivalente à l'égalité dans l'inégalité de Ptolémée. On dira alors que (M
1, M
2, M
3, M
4) est une conguration d'égalité.
c. Soit s une similitude quelconque du plan et (M
1, M
2, M
3, M
4) une conguration d'égalité. Montrer que (s(M
1), s(M
2), s(M
3), s(M
4)) est encore une conguration d'égalité.
3. On suppose que les points M
1, M
2, M
3, M
4sont dans cet ordre sur une même droite.
Montrer que (M
1, M
2, M
3, M
4) est une conguration d'égalité.
4. On suppose ici que m
1, m
2, m
3, m
4sont de module 1 avec m
1= e
iα1, m
2= e
iα2, m
3= e
iα3, m
4= e
iα4.
a. Exprimer B(m
1, m
2, m
3, m
4) avec des sin .
1B(m1, m2, m3, m4)est appelé le birapport des quatre nombres complexes.
b. Montrer que si M
1, M
2, M
3, M
4sont sur un même cercle et dans cet ordre pour le sens trigonométrique habituel alors (M
1, M
2, M
3, M
4) est une conguration d'égalité.
5. a. Exprimer B(m
1, m
2, m
3, m
4) à l'aide de z
2, z
3, z
4.
b. On considère des points M
1, M
2, M
3, M
4d'axe m
1, m
2, m
3, m
4et les points Z
2, Z
3, Z
4d'axes z
2, z
3, z
4. Que peut-on dire de Z
2, Z
3, Z
4lorsque (M
1, M
2, M
3, M
4) est une conguration d'égalité ?
Exercice
Fig. 1: T et un D
pSoit n un entier naturel non nul. On dénit des parties T et D
ppour p ∈ {0, 1, · · · , n}
∀(i, j) ∈ N
2: (i, j) ∈ T ⇔ i + j ≤ n (i, j) ∈ D
p⇔ i + j = p
1. Rappeler sans démonstration la formule donnant un coecient du binôme uniquement à l'aide de factorielles.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai M1302EMPSI B Année 2013-2014 Énoncé DM 2 pour le 27/09/13 29 juin 2019
2. Soit x et y deux nombres complexes, en utilisant T et D
p, donner une autre expression de la somme
S = X
(i,j)∈T
x
ii!
y
jj!
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
