Plus de moyens
Problème de Diophante
proposé par Pierre Leteurtre
La Confédération des Géomètres réclame plus de moyens.
Réponse des patrons : « Vous disposez déjà d'un moyen. S'il est adapté et que vous le partagez en deux, vous pouvez en obtenir trois. »
Décrivez tous ces moyens possibles.
Nota : il s'agit bien sûr de triangles moyens tels que pour un triangle moyen en A on a la relation BC2 = AB AC.
Solution
Proftons de ce problème pour se familiariser avec les triangles moyens.
Ci-dessous est représenté (en bleu) le lieu d’un point courant P tel que le triangle PBC est moyen (BC2 = PB*PC).
Cette courbe admet pour axes de symétries la droite BC et la médiatrice de BC.
Elle est quasi elleptique. La bande grise est centrée sur l’ellipse de mêmes sommets.
Le triangle ABC est rectangle en B.
Le nombre d’or φ apparaît deux fois : d’une part, BD = φ*BC et CD = BC/ φ et, d’autre part, BC2 = φ*AB2 = AC2/φ . S’en convaincre.
Pour répondre aux patrons, dans le triangle rectangle ABC, la hauteur BH issue de B le partage en deux triangles AHB et BHC rectangles semblables à ABC.
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