Similitude
Problème D670 de Diophante
Proposé par Pierre Jullien
Dans le rectangle ABCD, avec seulement une équerre à trois bords rectilignes, j'ai installé le
triangle EFG directement semblable au triangle BCD.
Saurez-vous en faire autant ?
Où se situe le centre de la similitude qui transforme un de ces triangles dans l'autre ?
Solution
Répondons d'abord à la dernière question.
Soit S le point d'intersection de EG et BD. Les angles FBD et FEG sont égaux.
Ainsi les points EBFS sont sur le cercle de diamètre EF. D'où l'angle ESF est droit ; la similitude de centre S, qui envoie SE sur SB, envoie (d'après Thalès) SG sur SD et (par suite) F sur C.
Il apparaît que l'angle BSC est droit. Autrement dit S est le point projeté de C sur BD orthogonalement ; indépendamment du triangle EFG.
Pour installer un triangle EFG semblable au triangle BCD, je trace la hauteur issue de C au côté BD, pour obtenir son pied S. Sur BC, je choisi un point F arbitraire et trace la droite perpendiculaire en S à FS. Cette droite coupe AB en E et CD en G.
Nota Lorsque j'ai proposé ce problème , je ne l'avais pas réellement étudié.
J'invite qui pourra à programmer une animation dans laquelle le point F parcourt BC (le seul segment BC ou toute la droite).
