Lycée militaire de Saint-Cyr DS n°5 1
reS Durée : 1h15
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation des copies. Tous les résultats devront être soulignés.
Exercice 1
𝑓 est une fonction définie pour tout réel 𝑥 différent de 0 par : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +𝑐
𝑥 On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1. Déterminer les réel a,b et c sachant que :
• la courbe C passe par les points de coordonnées (1; −2) et (−2; −8) ;
• la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 est parallèle à la droite d’équation 𝑦 = −𝑥.
2. Déterminer le sens de variation de la fonction 𝑓.
Exercice 2
Soit 𝑔 la fonction définie sur ℝ+ par 𝑔(𝑥) = 4√𝑥
𝑥+1. Démontrer que, pour tout 𝑥 ≥ 0, on a : 0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 2.
Exercice 3
On appelle dérivée seconde , notée 𝑓 " d’une fonction la fonction dérivée de la dérivée de f.
Autrement dit : f ‘’=(f ‘)’.( on dérive deux fois f).
1. Soit f la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 3𝑥2−9𝑥
2 + 3. Calculer 𝑓′(𝑥) et 𝑓′′(𝑥).
En déduire la formule , dite de Mac –Laurin : Pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓′(0)×𝑥 +𝑓′′(0)
2 𝑥2.
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ≠ 0.
Démontrer que la formule de Mac-Laurin est encore vraie.
Exercice 4
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1 et MNPQ un rectangle inscrit dans ce triangle équilatéral.
Soit H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. On note 𝑥 la distance HM avec 𝑥 ∈ [0; 0,5].
1. Calculer la longueur CH, puis exprimer MQ et MN en fonction de 𝑥.
2. Exprimer l’aire 𝐴 du rectangle MNPQ en fonction de 𝑥.
3. Etudier les variations de la fonction 𝑥 ⟼ 𝐴(𝑥) sur l’intervalle [0; 0,5].
4. Pour quelle valeur de 𝑥 l’aire du rectangle MNPQ est-elle maximale ? Quelle est la valeur exacte de cette aire ?
Barème probable : Ex 1 : ; Ex 2 : ; Ex 3 : ; Ex 4 : BONUS !
Existe-t-il une fonction polynôme de degré 3 dont la courbe représentative passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) et admette en ces points des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?
