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ET SEMBLABLES
Nom : ________________________
Groupe : ______
Cours 1
Notions géométriques importantes :
A) Angles :
Angles isométriques : deux angles dont les mesures sont égales.
Angles complémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est égal à 90°.
Angles supplémentaires : deux angles dont la somme de leurs mesures est égal à 180°.
Angles adjacents : deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre du côté commun.
Angles adjacents complémentaires : Deux angles dont les côtés extérieurs forment un angle de 90°.
Angles adjacents supplémentaires : Deux angles dont les côtés extérieurs forment un angle de 180°.
Angles opposés par le sommet : Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un sont les prolongements des côtés de l’autre.
Deux angles opposés par le sommet sont isométriques.
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Des angles correspondants formés par des parallèles coupées par une sécante sont isométriques.
Des angles alternes-internes formés par des parallèles coupées par une sécante sont isométriques.
Des angles alternes-externes formés par des parallèles coupées par une sécante sont isométriques.
B) Segments :
Segments isométriques : Deux segments qui ont la même mesure.
Hauteur : segment abaissé perpendiculairement du sommet sur le côté opposé.
Médiane : segment joignant le sommet d’un angle au point milieu du côté opposé.
Médiatrice : droite perpendiculaire élevée au milieu d’un côté.
Bissectrice : demi-droite issue du sommet d’un angle et le divisant en deux angles isométriques.
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La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180°. Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont isométriques.
Dans tout triangle isocèle, l’axe de symétrie supporte une hauteur, une bissectrice, une médiane et une médiatrice.
D) Quadrilatères :
La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est de 360°. Carré : - les quatre côtés sont isométriques
- les côtés opposés sont parallèles - les quatre angles sont droits
- les diagonales sont isométriques, perpendiculaires et se coupent en leur milieu
Parallélogramme : - les côtés opposés sont isométriques - les côtés opposés sont parallèles - les angles opposés sont isométriques - les diagonales se coupent en leur milieu Rectangle : - les côtés opposés sont isométriques - les côtés opposés sont parallèles - les quatre angles sont droits
- les diagonales se coupent en leur milieu Losange : - les quatre côtés sont isométriques
- les côtés opposés sont parallèles - les angles opposés sont isométriques
- les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu
Devoir : document 1: Triangles isométriques #1
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Cours 2
Les triangles isométriques :
Deux triangles sont isométriques lorsque leurs éléments _________________ (trois angles et trois côtés) sont ________________ .
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont isométriques, car leurs angles homologues sont isométriques et leurs côtés homologues sont isométriques.
___ ____ , ____ ____ et ____ ____
_____ DE, _____ _____ et _____ _____
On écrit alors ∆ABC ____ ∆DEF .
Remarques :
– Le symbole « » se lit « est isométrique à » ou « est __________ à » .
.
Le symbole d’égalité concerne des nombres alors que le symbole d’isométrie ()
concerne des objets géométriques. On a donc m AB= m DE,
mais AB DE.
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Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont isométriques, il n’est pas nécessaire de vérifier que tous leurs __________________________ et tous leurs
________________________ sont isométriques . Il suffit de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes .
A. La condition minimale d’isométrie CCC
Deux triangles ayant _________________________ isométriques sont nécessairement isométriques.
Exemple :
∆ _________ ∆ _________ , car AB , _____ _____ et _____ _____ .
B. La condition minimale d’isométrie CAC
Deux triangles ayant un __________ isométrique compris entre deux côtés ________________ isométriques sont nécessairement isométriques .
Exemple :
∆_______ ∆______ , car ___ ___ , GH
et _____ _____ .
Attention ! Le triangle ABC n’est pas isométrique au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.
6 C. La condition minimale d’isométrie ACA
Deux triangles ayant un ______________________ compris entre deux ________
homologues isométriques sont nécessairement isométriques.
Exemple :
∆NPR ∆________, car ____ _____ , ______ ST et ____ ____ .
Exercices :
Trouve les paires de triangles isométriques parmi les triangles ci-dessous. De plus, pour chacune de ces paires, indique quelle condition minimale d’isométrie est respectée.
a)
b)
c)
Devoir : Document 1 : Triangles isométriques : # 2 à 6 Mini-test #1 au prochain cours
Attention ! Le triangle DEF n’est pas isométrique au triangle NPR, car le côté de 3 cm n’est pas compris entre les angles de 30° et de 125° .
4 cm 4 cm
100 o 100 o
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La recherche de mesures manquantes
À l’aide d’exemples, apprenons à démontrer que les triangles sont isométriques.
1) Soit le parallélogramme suivant, démontre, en utilisant le cas d’isométrie ACA, que le triangle ABD est isométrique au triangle BDC
Affirmations Justifications
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2) Dans la figure ci-dessous, d1 // d2, d3 // d4 et d5 // d6. De plus, on dispose des informations suivantes:
– CF FI
– D, H, J et N sont les points milieu des segments CF, FI, IL et CL.
Complète le raisonnement qui permet de déduire que CDN LMN.
A. Le raisonnement déductif
Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur
Devoir : Document 1 :Triangles isométriques # 7-8-9-10-11 Mini-test # 2 au prochain cours
Affirmations Justifications
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Exercices : Document 1 : triangles isométriques
# 12-13-14-15-16-17 Cours 5
Le raisonnement déductif
Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles isométriques. C’est pourquoi
il est essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont isométriques avant de calculer la mesure en
question.
Exemple :
Quelle est la mesure du segment DE et de l’angle D dans la figure ci-contre ?
Pièges et astuces
Affirmations Justifications
10 Exemple :
Voici un losange dans lequel on a tracé les diagonales. Complète le raisonnement qui permet de déduire que
SRU
STU.Devoir : Terminer le document 1 : triangles isométriques donc # 18 à 21
Affirmations Justifications
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Les triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles homologues sont _________________
et les mesures de leurs côtés homologues sont _____________________ . Le coefficient de proportionnalité correspond alors au rapport de similitude (k) des deux triangles .
Exemple :
Les triangles ABC et DEF sont _________________, car leurs _____________ homologues sont isométriques et les mesures de leurs _______________ homologues sont proportionnelles :
A ____ , ____ ____ et ____ ____
AB m =
EF
m =
On écrit alors ∆ABC ∆________
Les conditions minimales de similitude de triangles
Pour pouvoir affirmer que deux triangles sont ________________, il suffit de s’assurer que les triangles respectent une des trois conditions minimales suivantes .
12 A. La condition minimale de similitude CCC
Deux triangles dont les mesures des trois côtés homologues sont ___________________
sont nécessairement semblables.
Exemple :
DE
m = mBC
= mCA
B. La condition minimale de similitude CAC
Deux triangles ayant un _______________________ compris entre deux côtés _________________ dont les mesures sont proportionnelles sont nécessairement semblables .
Exemple :
∆GHJ ∆KLM, car ____ ____
et mGH
Attention ! Le triangle ABC n’est pas semblable au triangle GHJ, car l’angle de 40° n’est pas compris entre les côtés de 3 cm et de 3,5 cm.
13 C. La condition minimale de similitude AA
Deux triangles ayant deux ___________________________ isométriques sont nécessairement semblables .
Exemple :
∆NPR ∆STU, car ____ ____ et P ____
Remarques :
– Puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°, on peut conclure que le triangle ABC est semblable au triangle NPR.
– Une droite parallèle à celle portée par un côté d’un triangle détermine des triangles semblables puisque la condition minimale de similitude AA est respectée.
Puisque GH BC, alors ∆ _______ ∆ABC .
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Exercices :Parmi les triangles suivants, indique les paires de triangles semblables dans les triangles ci-dessous ainsi que la condition minimale de similitude.
Devoir : Document 2 : triangles semblables : # 1-2-3-4-5 Mini-test #3 au prochain cours
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La recherche de mesures manquantes
Le raisonnement déductif
Le processus de recherche de mesures manquantes s’appuie sur les relations qui existent entre les éléments homologues de triangles semblables. C’est pourquoi
il est essentiel de s’assurer que les triangles en jeu sont semblables avant de calculer la mesure manquante.
Exemple 1 :
Par le cas de similitude CAC , démontre que le triangle ABC est
semblable au triangle ADE. Par la suite, détermine la mesure du segment BC et de l’angle BCA.
Affirmations Justifications
1,4 cm
16 Exemple 2 :
À l’aide des informations suivantes, détermine la mesure du segment AD.
𝑚 𝐴𝐸 ̅̅̅̅̅= 5 cm 𝑚 𝐵𝐸 ̅̅̅̅̅= 3 cm 𝑚 𝐷𝐶 ̅̅̅̅̅= 4,6 cm 𝑚 𝐸𝐷 ̅̅̅̅̅= 4 cm 𝑚 𝐵𝐶 ̅̅̅̅̅= 7 cm
AED 55 mACB55 m
Affirmations Justifications
Devoir : Document 2 : Les triangles semblables # 6-7-8-9
B C
D A
E
17
Cours 8
Exemple 1 : Sachant que AB//DF et que BD //FG, détermine la mesure de AG. Explique toutes les étapes de ta démarche.
18
Exemple 2 : Pour connaître la hauteur d’une antenne au sommet d’un édifice, Jérôme a eu l’idée suivante. Il s’est organisé pour viser le sommet de l’antenne tout en s’alignant avec le coin de l’édifice. La figure ci-dessous illustre les mesures qu’il a prises sachant que l’édifice possède 12 étages de 4 m de hauteur chacun. Trouve deux manières différentes de déterminer la hauteur de l’antenne.
Devoir : Document #2 : les triangles semblables : # 10-11-12-13 Mini-test # 4 au prochain cours
19 Remarque :
Des sécantes coupées par des droites parallèles sont partagées en segments de longueurs proportionnelles.
Puisque DR, ES et FT sont parallèles, alors
DE m
EF m =
mRS ST m
Exemple : VP, UN, TM et SL sont des droites parallèles entre elles.
Quelle est la mesure des segments ST, TU et UV ?
10,9 cm
Devoir : Terminer le document 2
Cours 10: Documents d’exercices préparatoires Cours 11: Examen première partie du chapitre 2
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Cours 12
Les triangles rectangles semblables déterminés par la hauteur relative à l’hypoténuse
Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l’hypoténuse détermine deux autres triangles rectangles, semblables au premier.
Par la condition minimale de similitude AA :
• ∆ABC ∆CBH puisque ces deux triangles ont un angle droit
et qu’ils ont l’angle B en commun;
• ∆ABC ∆ACH puisque ces deux triangles ont un angle droit et
qu’ils ont l’angle A en commun.
Par la transitivité de la relation de similitude, ∆CBH ∆ ______.
La relation de similitude est transitive, c’est- à-dire que si
∆ABC ∆DEF et
∆DEF ∆GHJ, alors
∆ABC ∆____.
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Établir des proportions à partir des côtés _________________ des triangles rectangles semblables permet de trouver plusieurs relations métriques qui facilitent la recherche de mesures manquantes dans un triangle _________________ . Ces relations font intervenir le concept de moyenne proportionnelle.
1. La moyenne proportionnelle
Lorsque les deux ___________ ou les deux ___________ d’une proportion ont la même valeur, cette valeur est appelée moyenne proportionnelle des deux autres valeurs.
Dans la proportion a b
b
c , on dit que b est moyenne proportionnelle de a et de c.
Exemple 1 : Pour déterminer la hauteur relative à l’hypoténuse du triangle rectangle ABC ci-dessous nous utiliserons la relation métrique #1 :
Relation métrique #1 :
Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenne proportionnelle des mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.
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Exercice : Détermine la mesure manquante dans le triangle suivant.
Devoir : Ai-je bien compris : p.96 et p. 98 #1 c) p. 102 # 6 # 7 e) et #8
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Exemple 2 : Pour déterminer la mesure de la cathète BC dans le triangle rectangle ABC ci- dessous, on procède de la façon suivante :
Relation métrique #2 :
Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle de la mesure de sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.
Remarque : BH est la projection de la cathète BC sur l’hypoténuse.
Et AH est la projection de la cathète AC sur l’hypoténuse
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Exercice : Détermine la donnée manquante dans le triangle suivant :
Devoir : Ai-je bien compris : p.98 #1 b) p.103 # 7 a) b) d) f) et h)
Mini-test au prochain cours
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Exemple 3 : En calculant l’aire d’un triangle rectangle de deux façons différentes, on peut déduire une autre relation métrique dans le triangle rectangle .
Relation métrique #3 :
Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égale au produit de l’hypoténuse et de la hauteur relative à l’hypoténuse.
Calcul de l’aire d’un triangle rectangle
Première façon Deuxième façon
Atriangle =
2 CB AC
m Atriangle =
2 CH AB m
On a donc m AC • m CB m AB • m CH
Remarque : Il existe plusieurs démarches permettant de déterminer une mesure manquante dans un triangle rectangle. Dans tous les cas, on peut avoir recours aux relations métriques incluant la relation de Pythagore.
Exercice : Détermine la donnée manquante dans le triangle suivant.
26 Exercice
#1 La figure ci-dessous représente le système d’enroulement d’une courroie autour d’un disque
de machinerie agricole. Le mécanicien doit refaire la pièce reliant le centre du cercle à la circonférence.
À partir de l’information fournie dans la figure, aide le mécanicien à déterminer la mesure du rayon de la roue.
Devoir : Ai-je bien compris : p. 98 #1a)
p. 103 # 7 c) g) # 8 # 9 p. 105 # 5 Cours 15 : Document d’exercices préparatoires
Cours 16 : Examen sur la partie 2 du chapitre 2 (p.20 à 26)
