Exercice 1 Ce qui suit, sur la partie gauche, représente les traces sur le tableau d’une solution proposée par un élève, en accentuant cependant fortement sur sa structure (à l’aide d’un schéma fléché) pour mettre en valeur ses paragraphes et ses déductions. Mais rien de ce qui a été dit oralement n’a été transcrit. Sur la droite, se trouvent les consignes et questions pour cette partie du devoir en temps limité. Bien noter, qu’il ne s’agit pas ici de « faire mieux » que ce qui est présenté …, qui est déjà très bon.
Rappel de l’énoncé : ABCD est un carré, I le milieu de [AD], J le milieu de [DC] et K le point d’intersection de [BI] et de [AJ].
Il s’agit de trouver le rapport des aires de AKI et de ABCD.
Une solution : on pose AB = a, et on emploie les notations suivantes : ABCD pour l’aire d’un quadrilatère ABCD et ABC pour l’aire d’un triangle ABC.
DAJ et ABI sont isométriques (1) (2)
DAJ ABIn=n (3)
On peut alors prouver que les triangles AKI et ABI sont semblables et trouver le rapport de leurs aires :
n n
AIK AIB= (4) nDAJ ABI=n et IAK DAJn=n (5) (6)
IAK ABIn=n(7) (8)
AKI et ABI sont semblables (9)
(10) BI2 = AI2 + AB2 (11) (12)
AKI AI 2
ABI BI
= (13) BI2 =
2 2
a a2 5a
2 4
+ =
(14)
(15) BI = a 5
2 (16)
(17)
a 2
AKI 2
ABI a 5 2
=
(18) (19)
( )
2
2
AKI a 4
ABI 4 a 5
= × (20)
(21) AKI 1
ABI=5 (22)
Par ailleurs 2
a a
ABI 22
ABCD a
×
= (23)
(24) ABI 1
ABCD =4 (25) Finalement, AKI 1 1 1
5 4 20
ABCD= × = (26)
Cette solution contient 5 paragraphes, le premier expliquant seulement des notations.
On rappelle qu’une déduction est dite justifiée si « ses » points de départ sont exacts (données locales, ou
affirmations démontrées, ou données évidentes, …), si elle est accompagnée « des » énoncés mathématiques
« nécessaires » (définitions, propriétés, théorèmes, règles,
…) permettant d’obtenir la conclusion énoncée de cette déduction.
Les déductions seront notées comme suit :
nos « des » points de départ / n° de la place des énoncés mathématiques / n° de la conclusion ;
par exemple : (1) / (2) / (3) ou encore (13)–(16) / (17) / (18).
N.B. : écrit de cette façon, « les » peut signifier un singulier ! 1) L’affirmation (1) de la déduction (1) / (2) / (3) n’est pas
démontrée, et ce n’est pas une donnée de l’énoncé.
Prouver l’affirmation (1).
2) Ecrire « les » énoncés mathématiques situés en (2).
3) En supposant que (4) et (7) sont exactes, écrire « les » énoncés mathématiques de (8) justifiant la déduction (4)-(7) / (8) / (9).
4) Le théorème suivant a été utilisé : « si R∈]AB) et si S∈]AC), alors RAS BACn= n », mais n’a pas été signalé.
Préciser son emploi (où, pour quelles égalités d’angles et comment).
5) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (9) / (10) / (13).
6) La justification (12) de la déduction (11) / (12) / (14) peut être formulée ainsi : « par substitution, et à l’aide de règles de calculs usuelles et par abus d’écriture ».
Cependant (11) n’est pas un point de départ suffisant, ce n’est pas une donnée de l’énoncé, et il n’a pas été démontré par ailleurs.
a) Ecrire « les » points de départ à adjoindre à (11).
b) Prouver que l’affirmation (11) est exacte.
7) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (13)–(16) / (17) / (18), et compléter si nécessaire les points de départ.
8) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (18) / (19) / (20).
9) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (20) / (21) / (22).
10) L’affirmation notée (26) est la conclusion d’une déduction. Ecrire cette déduction.
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Exercice 2
Soit sur un cercle C, un point A de ce cercle, son symétrique A’ par rapport au centre du cercle, et deux points B et C, tels que ABC soit obtus, situés du même côté par rapport à n (AA’). Remarque : les points A, A’, B et C sont distincts deux à deux. On appelle H le point d’intersection de (BC) et de la perpendiculaire à (BC) passant par A.
Il s’agit de prouver que AB×AC = AH×AA’.
Les questions sont sur la feuille-réponse.
NOM : FEUILLE-REPONSE Respecter les consignes Exercice 1
1) L’affirmation (1) de la déduction (1) / (2) / (3) n’est pas démontrée, et ce n’est pas une donnée de l’énoncé. Prouver l’affirmation (1).
2) Ecrire « les » énoncés mathématiques situés en (2).
3) En supposant que (4) et (7) sont exactes, écrire « les » énoncés mathématiques de (8) justifiant la déduction (4)-(7) / (8) / (9).
4) Le théorème suivant a été utilisé : « si R∈]AB) et si S∈]AC), alors
n n
RAS BAC= », mais n’a pas été signalé. Préciser son emploi (où, pour quelles égalités d’angles et comment).
5) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (9) / (10) / (13).
6) La justification (12) de la déduction (11) / (12) / (14) peut être formulée ainsi : « par substitution, et à l’aide de règles de calculs usuelles et par abus d’écriture ». Cependant (11) n’est pas un point de départ suffisant, ce n’est pas une donnée de l’énoncé, et il n’a pas été démontré par ailleurs.
a) Ecrire « les » points de départ à adjoindre à (11).
b) Prouver que l’affirmation (11) est exacte.
7) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (13)–(16) / (17) / (18), et compléter si nécessaire les points de départ.
8) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (18) / (19) / (20).
9) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (20) / (21) / (22).
10) L’affirmation notée (26) est la conclusion d’une déduction. Ecrire cette déduction.
Exercice 2
Soit sur un cercle C, un point A de ce cercle, son symétrique A’ par rapport au centre du cercle, et deux points B et C, tels que ABC soit obtus, situés du même côté par rapport à (AA’). Remarque : les points A, A’, B et C sont distincts deux à deux. On n appelle H le point d’intersection de (BC) et de la perpendiculaire à (BC) passant par A. Il s’agit de prouver que AB×AC = AH×AA’.
1) Ecrire les égalités de rapports permettant d’obtenir l’égalité AB×AC = AH×AA’.
2) Citer les énoncés mathématiques justifiant le 1).
3) Que suffirait-il de prouver pour obtenir les résultats du 1) ?
4) Résoudre alors le 3), au dos de cette feuille.
Eléments pour un corrigé Exercice 1
1) L’affirmation (1) de la déduction (1) / (2) / (3) n’est pas démontrée, et ce n’est pas une donnée de l’énoncé. Prouver l’affirmation (1).
Par exemple : ABCD est un carré et I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [DC] donc AI = DJ ; ABCD est un carré donc AB = AD et BAI ADJn =n. Les deux triangles ABI et ADJ ont donc un angle égal compris entre deux côtés de même mesure, donc (th.1) ils sont isométriques.
Th.1 : si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés de même mesure, ils sont isométriques.
2) Ecrire « les » énoncés mathématiques situés en
(2). Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles « homologues »
sont égaux deux à deux.
3) En supposant que (4) et (7) sont exactes, écrire
« les » énoncés mathématiques de (8) justifiant la déduction (4)-(7) / (8) / (9).
Th.2 : si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.
4) Le théorème suivant a été utilisé : « si R∈]AB) et si S∈]AC), alors nRAS BAC=n », mais n’a pas été signalé. Préciser son emploi (où, pour quelles égalités d’angles et comment).
A∈]IA) et K∈]IB) donc AIK AIBn=n I∈]AD) et K∈]AJ) donc IAK DAJn=n 5) Ecrire « les » énoncés mathématiques
justifiant la déduction (9) / (10) / (13). Th.3 : si deux triangles sont semblables dans le rapport k, alors leurs aires sont dans le rapport k2.
6) La justification (12) de la déduction (11) / (12) / (14) peut être formulée ainsi : « par substitution, et à l’aide de règles de calculs usuelles et par abus d’écriture ». Cependant (11) n’est pas un point de départ suffisant, ce n’est pas une donnée de l’énoncé, et il n’a pas été démontré par ailleurs.
a) Ecrire « les » points de
départ à adjoindre à (11). (par abus d’écriture) AB = a et AI = AD/2 = a/2 b) Prouver que l’affirmation (11)
est exacte. BAI est un triangle rectangle en A et en utilisant le th. de Pythagore, on obtient (11).
7) Ecrire « les » énoncés mathématiques justifiant la déduction (13)–
(16) / (17) / (18), et compléter si nécessaire les points de départ. Point de départ supplémentaire : AI = a/2 Enoncé mathématique : « par substitution » 8) Ecrire « les » énoncés
mathématiques justifiant la
déduction (18) / (19) / (20). Th.4 : a b a d
c b c
d
= × (avec b, c, d non nuls)
th.5 : (ab)2 = a2b2 th.6 :
2 2
2
a a
b b
=
(avec b non nul) 9) Ecrire « les » énoncés
mathématiques justifiant la déduction (20) / (21) / (22).
Th.7 : a c ac
b d× =bd (avec b, d non nuls) ; Th.8 : ac a
bc=b (avec b, c non nuls) ; th.9 : (avec a positif) a2 =a ; th.5
10) L’affirmation notée (26) est la conclusion d’une déduction. Ecrire cette déduction.
AKI 1
ABI =5 et ABI 1
ABCD =4 donc AKI ABI 1 1
ABI ABCD× = ×5 4donc (th.7, 8) AKI 1 ABCD= 20 . Exercice 2
Soit sur un cercle C, un point A de ce cercle, son symétrique A’ par rapport au centre du cercle, et deux points B et C, tels que ABC soit obtus, situés du même côté par rapport à (AA’). Remarque : les points A, A’, B et C sont distincts deux à deux. On n appelle H le point d’intersection de (BC) et de la perpendiculaire à (BC) passant par A. Il s’agit de prouver que AB×AC = AH×AA’.
1) Ecrire les égalités de rapports permettant
d’obtenir l’égalité AB×AC = AH×AA’. AHAB =AA 'AC ou encore AB AH
AA '=AC ou les rapports inverses.
2) Citer les énoncés mathématiques justifiant
le 1). Th.1 (dit du produit en croix) : avec b et d non nuls, si a c
b=d alors ad = bc 3) Que suffirait-il de prouver pour obtenir les résultats du 1) ? HAC et ABA’ sont semblables
4) Résoudre alors le 3), au dos de cette feuille.
C est le cercle circonscrit au triangle BAA’, et [AA’] est un diamètre de C, donc (th.2) BAA’ est rectangle en B.
(AH) et (BC) étant perpendiculaires en H, HAC est rectangle en H. Les triangles HAC et BAA’ sont donc rectangles respectivement en H et en B.
Par ailleurs nHCA BCA=n(évident ou voir q4) de l’exercice 1).
De plus (th.3) nBA 'A BCA=n, donc HCA BA 'An=n. Les deux triangles HAC et BAA’ ont donc deux angles égaux, ils sont donc (th.4) semblables.
Th.2 : Si un côté d’un triangle est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle, alors le triangle est rectangle au point qui n’est pas extrémité du diamètre.
Th.3 : si deux angles inscrits dans un même cercle interceptent le même arc, ils sont égaux.
Th.4 : si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, alors les deux triangles sont semblables.
