Problème. Polaire d'un point par rapport à un cercle

MPSI B 2010-2011 DS 1 29 juin 2019

Problème. Polaire d'un point par rapport à un cercle

On se place dans un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct, à chaque point du plan est donc associée une axe complexe.

Dans ce problème

, aucun raisonnement géométrique ne sera pris en considération. Toutes les démonstrations doivent se faire à l'aide de calculs dans C.

On note C le cercle (unité) formé par les points dont l'axe appartient à U. On rappelle que U est l'ensemble des nombres complexes de module 1.

I. Une nouvelle forme d'équation de droite.

1. Soit D une droite passant par un point A (d'axe a ) et orthogonale à un vecteur non nul − → u (d'axe u ). Soit Z (d'axe z ) un point quelconque du plan.

a. Traduire Z ∈ D par une relation complexe.

b. Déterminer des nombres complexes w

, w

tels que : Z ∈ D ⇔ z = w

+ w

z Vérier que si w

6= 0 alors

w

= − w

w

2. Soit w un nombre complexe non nul xé.

a. Déterminer des nombres complexes a et u (avec u non nul) tels que :

∀z ∈ C : z − w + w w z = 1

w Re ((z − a)u) b. Montrer que

z = w − w w z est l'équation d'une droite à préciser.

II. Droite polaire d'un point par rapport au cercle unité.

Soit M un point xé du plan qui n'est pas l'origine du repère. Son axe est m 6= 0 . On note ∆

l'ensemble des points Z (d'axe z ) tels que

z = 2 m − m

m z

1d'après Géométrie analytique classique J-D Eiden (C&M) p227

1. Pourquoi ∆

est-il une droite ?

2. On considère l'équation (E) d'inconnue z :

(E) z

− 2

m z + m m = 0

En discutant suivant |m| , préciser les solutions complexes de (E) et les modules de ces solutions.

3. Montrer que ∆

∩ C est vide lorsque |m| < 1 . 4. On suppose ici que |m| > 1 .

a. Montrer que ∆

∩ C est formé par deux points.

b. Soit U (d'axe u ) un des deux points de ∆

∩ C . Calculer Re ((u − m)u)

Quelle propriété géométrique peut-on en déduire ? Faire un dessin.

III. Conguration géométrique

M

A

C

D

B

M

M

C

Fig. 1: Conguration géométrique

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1. Soit a et b deux nombres complexes de module 1 tels que a + b 6= 0 . Montrer que

a + b a + b = ab

2. Soit A et B deux points de C (respectivement d'axes a et b avec a + b 6= 0 ). Soit M (d'axe m ) un point quelconque du plan. Montrer que M est sur la droite (AB) si et seulement si :

m = a + b − ab m

3. On se donne quatre points A , B , C , D (axes a , b , c , d avec a + b 6= 0 et c + d 6= 0 ) sur C . et on suppose que les droites (AB) et (CD) se coupent en un point M (axe m ).

a. Montrer que ab − cd 6= 0 . b. Montrer que

m = ab(c + d) − cd(a + b) ab − cd c. Montrer que

m = a + b − c − d ab − cd d. Montrer que

ab = a + b − m

m cd = c + d − m

m

4. On suppose que les points du cercle sont dans la conguration de la gure 1, En particulier, aucun de ces points n'est diamétralement opposé à un autre et les droites que l'on peut former se coupent deux à deux en M , M

, M

.

a. Déterminer les axes m

et m

de M

et M

ainsi que leurs conjugués.

b. Montrer que

m

= 2 m − m

m m

m

= 2 m − m

m m

Que peut-on en conclure pour les points M

et M

?

Exercice

1. Résoudre

cos x + cos 2x + cos 3x = 0 2. Résoudre

3 tan x = 2 cos x (on pourra former une relation vériée par sin x )

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