Chapitre : Triangles isométriques, semblables.
I Triangles isométriques.
1 ) Définition : deux triangles sont isométriques si et seulement si l’un est l’image de l’autre par une translation, une symétrie axiale, une rotation ou une succession de telles transformations.
Théorème fondamental : deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont des côtés et des angles respectivement égaux.
ABC, A’B’C’ et A’’B’’C’’ sont isométriques dans cet ordre.
On dit que les sommets A et A’ sont homologues.
Remarque : on dit aussi que de tels triangles sont superposables.
dem : => propriétés des transformations
<= ) on utilise une translation puis une symétrie et une rotation pour passer d’un triangle à l’autre.
2 ) Propriétés de caractérisation des triangles isométriques.
2.a ) Si les longueurs des côtés d’un triangle sont respectivement égales à celles d’un autre alors ces deux triangles sont isométriques.
alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet ordre.
2.b )Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur alors ces deux triangles sont isométriques.
alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet ordre..
2.c )Si deux triangles ont un côté de même longueur et adjacent à deux angles respectivement de même mesure alors ces deux triangles sont isométriques.
alors ABC et MNP sont isométriques, dans cet ordre..
B C
A 1 B
1 C
1 A
B’
C’
A’
B
A C
N
M
P N
M P B
C
A
B
C
A
N
M P
Exercice : ABDE et BCFG sont deux carrés construits à l’extérieur du triangle ABC.
Démontrer que AG = DC.
solution : = + 90° et = + 90°.
Donc = .
De plus, BA = BD et BC = BG.
Donc d’après le deuxième cas d’isométrie, les triangles ABG et DBC sont isométriques dans cet ordre.
Ces triangles ont donc leurs côtés homologues de même longueur ; d’où en particulier : AG = DC.
Remarque : pour résoudre cet exercice on peut utiliser la rotation de centre B et d’angle 90° dans le sens direct.
II Triangles semblable ou de même forme.
1 ) Définition : deux triangles sont de même forme si et seulement si les angles de l’un sont respectivement égaux à ceux de l’autre.
Autrement dit :
si alors ABC et MNP sont de même forme dans cet ordre.
si ABC et MNP sont de même forme ,dans cet ordre. alors.
remarque : deux triangles isométriques sont de même forme.
si deux angles sont de même mesure dans deux triangles, le troisième l’est aussi.
2 ) Propriété caractéristique des triangles semblables.
Deux triangles sont de même forme si et seulement si les longueurs de leur côté sont proportionnelles.
ABC et MNP sont de même forme , dans cet ordre. = = = k
le rapport k est le coefficient d’agrandissement ( ou de réduction ) des longueurs, on parle aussi de rapport de similitude., le rapport des aires est k².
Autrement dit :si deux triangles sont de même forme, alors les longueurs de leur côté sont proportionnelles.
si les longueurs des côté de deux triangles sont proportionnelles alors ils sont de même forme.
Propriété : si A (BC), si A (MN) (configuration de Thalès)
si (BC) // (MN) alors ABC et AMN sont de même forme dans cet ordre.
propriété réciproque : si A, B , C et A, M, N sont alignés dans cet ordre (configuration de Thalès ) et que = alors ABC et AMN sont de même forme dans cet ordre.
3 ) Exemple
Exercice : ABC est un triangle, AB = 28 mm, BC = 39 mm et AC = 42 mm. I est le milieu de [AB]. On note D le point de [AC]
tel que = .
1. Calculer AD et ID.
2. Démontrer que = . solution :
1. Les triangles AID et ABC ont en commun l’angle , de plus = par hypothèse. Donc ces triangles ont deux angles égaux deux à deux, ils sont donc semblables.
On obtient alors = = .
D’où = = et on obtient ID = = 13 et AD = = .
2. Le coefficient d’agrandissement réduction est = , donc = .
