I – Triangles isométriques :

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Chapitre 12: Triangles isométriques- Triangles semblables

I – Triangles isométriques :

1. Définition et propriétés :

Définition 1 : Deux triangles sont isométriques si leurs trois côtés ont respectivement la même longueur.

Théorème 1 : Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs trois angles respectivement de même mesure.

2. Caractérisations des triangles isométriques :

Théorème 2 : Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux cotés de même longueur, alors ils sont isométriques.

Plus précisément si AB = A'B', AC = A'C' etBAC=B'A'C'alors ABC et A'B'C' sont isométriques.

Théorème 3 : Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de même mesure, alors ils sont isométriques.

Plus précisément si AB = A'B', ^_BAC=B'A'C' et^_ABC=A'B'C'alors ABC et A'B'C' sont isométriques.

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3. Triangles isométriques et transformation.

Théorème 4 : Une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation, une rotation transforme un triangle en un triangle isométrique.

II – Triangles semblables :

1. Définition et propriétés :

Définition 2: Deux triangles sont semblables si leurs trois angles ont respectivement la même mesure.

Remarques :

a . Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il suffit de démontrer qu'ils ont deux de leurs angles ayant la même mesure respectivement.

b . Deux triangles isométriques sont semblables.

Théorème 5 : Soit ABC, M un point de la droite (AB) et N un point de la droite (AC).

Si (MN) est parallèle à la droite (BC), alors

AMN=ABC ;ANM=ACB ;MAN=BAC et ^AM AB =AN

AC =MN BC

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Remarque : Dans les situations de Thalés, les triangles sont donc semblables.

Théorème 6 : Si deux triangles sont semblables, alors leurs trois cotés respectifs ont des longueurs proportionnelles.

Plus précisément : Si ABC et A'B'C' sont semblables avec A= A';B= B'= C= C'alors A'B'

AB =A'C' AC =B'C'

BC =k. Ce rapport k est appelé rapport de similitude.

2. Caractérisation des triangles semblables :

Théorème 7 : Si deux triangles ont leurs trois cotés respectifs de longueurs proportionnelles alors ils sont semblables .

Théorème 8: Si dans deux triangles, un angle de l'un est égal à l'un de l'autre, les cotés adjacents à cet angle étant proportionnelles aux cotés adjacents de l'autre, alors ces triangles sont semblables.

3. Triangles semblables et aires :

Théorème 9 : Si deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude égal à k alors le rapport de leurs aires est égal à k²

4. Quelques configurations clés :

Figure 1. Figure 2. Figure 3.