A368 ‒ Une histoire de facteurs
Problème proposé par Raymond Bloch
À tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u₀ = n, u₁ = f(u₀), u₂ = f(u₁),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre de diviseurs de l'entier x, 1 et x compris.
Par exemple avec n = 9, on a k = 2 et la suite contient les trois termes : 9,3,2 tels que u₀ = 9 = 3², u₁ = f(3²) = 3, u₂ = f(3) = 2
Déterminer le plus petit entier n > 2 tel que la suite Sn contient 8 termes.
Solution par Patrick Gordon
On procède à l'envers : on "remonte" en tentant à chaque k étape de choisir le plus petit entier ayant le nombre de diviseurs trouvé à l'étape k–1.
Étape 1 On part de 2 Étape 2
Les nombres ayant 2 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont les nombres premiers. On retiendra 3.
Étape 3
Les nombres ayant 3 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont les carrés de nombres premiers.
On retiendra 4.
Étape 4
Les nombres ayant 4 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont les cubes de nombres premiers ou les produits de deux nombres premiers. On retiendra 6.
Étape 5
Les nombres ayant 6 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont les puissances 5 de nombres premiers ou les produits d'un nombre premier par le carré d'un autre. On retiendra 2²×3 = 12.
Étape 6
Les nombres ayant 12 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont de l'une des formes (p, q, r…
étant des nombres premiers) : p11 ou p5q ou p3q2 ou p2qr.
On retiendra 22 3 5= 60.
Étape 7
Les nombres ayant 60 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont de l'une des formes (p, q, r…
étant des nombres premiers) :
p59 ou p29q ou p19q2 ou p14qr ou p9q5 ou p5q4rou p4q2rs.
On retiendra 24 32 57 = 5040.
Étape 8
Les nombres ayant 5040 diviseurs (1 et eux-mêmes compris) sont de l'une des formes (p, q, r…
étant des nombres premiers), en excluant les plus gigantesques d'entre eux : p6q4r2s2tuvw ou p6q5r4s2tuv
On retiendra 2634527211 13 17 19 = 293 318 625 600
La réponse est donc : le plus petit n est 293 318 625 600
