A368 ‒ Une histoire de facteurs [** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
A tout entier n > 2, on associe la suite Sn strictement décroissante définie par u₀ = n, u₁ = f(u₀), u₂ = f(u₁),....uk = f(uk-1) = 2 avec f(x) désignant le nombre de diviseurs de l'entier x, 1 et x compris.
Par exemple avec n = 9, on a k = 2 et la suite contient les trois termes : 9,3,2 tels que u₀ = 9 = 3², u₁ = f(9) = f(3²) = 3, u₂ = f(3) = 2
Déterminer le plus petit entier n > 2 tel que la suite Sn contient 8 termes.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Tout nombre premier possède 2 diviseurs, y compris 2 . Mais si U7 = F(2) = 2 , c'est que le terme U6 = 2 = F(3) = F(p) et c'est lui qui clôt la suite .
Il faut trouver le plus petit U0 .
La bonne stratégie consiste à affecter les plus petits facteurs premiers des plus grands exposants dans la décomposition d'un nombre.
Il faut en même temps, à chacune des étapes,trouver le plus petit nombre possédant n diviseurs .
Ecrivons la suite à l'envers : U₇= F (U₆) = 2 ==> U₆= 3 Alors :
U7 = 2
U6 = 3 ( 3 possède 2 diviseurs )
U5 = 4 ( 1 , 2 , 4 ) --> 3 diviseurs pour 4
U4 = 6 ( 1 , 2 , 3 , 6 ) --> 4 diviseurs pour 6 = 2 x 3
U3 = 12 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 ) --> 6 diviseurs pour 12 = 2² x 3
U2 = 60 ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 ) --> 12 diviseurs pour 60 = 2² x 3 x 5 U1 = 7! = 24 x 3² x 5 x 7 = 5040 ( 60 diviseurs : 5 x 3 x 2 x 2 )
U0 = 26 x 34 x 52 x 7² x 11 x 13 x 17 x 19 = 293 318 625 600 possède 7! = 5040 diviseurs ) Ainsi : S (293 318 625 600) = { 293 318 625 600 , 5040 , 60 , 12 , 6 , 4 , 3 , 2 }
