A350 - Les nombres d’Einstein.
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle nombre d’Einstein un entier dont la décomposition en facteurs premiers est m.c2 où m et c sont des nombres premiers distincts.
Ainsi 7442 = 2 612 ; 7443 = 32 827 ; 7444 = 22 1861 sont trois nombres d’Einstein consécutifs.
Combien existe-t-il au plus de nombres d’Einstein consécutifs ? Solution proposée par l’auteur
La réponse est 5.
Démonstration :
Un nombre d’Einstein ne peut pas être multiple de 8 car pour que m.c2 soit multiple de 8 il faudrait que m et c soient égaux à 2.
Il y a donc au plus 7 nombres d’Einstein consécutifs. Soit M le maximum cherché.
D’après ce qui précède, on a 3 M 7 et les séquences de nombres d’Einstein consécutifs sont à rechercher parmi les suites de la forme : 8 k + 1, 8 k + 2, 8 k + 3, 8 k + 4, 8 k + 5, 8 k + 6, 8 k + 7.
Si n = 8 k + 4 est un nombre d’Einstein, c’est un multiple de 4 donc n = 22 p où p est premier impair.
Si n = 8 k + 2 ou 8 k + 6 est un nombre d’Einstein, c’est un multiple de 2 mais pas de 4, donc n = 2 p2 où p est premier impair.
Or il est impossible d’avoir à la fois 8 k + 2 et 8 k + 6 nombres d’Einstein. En effet si c’était le cas on aurait d’après la remarque précédente 8 k + 2 = 2 p2 et 8 k + 6 = 2 q2 avec p, q premiers impairs.
Mais alors on aurait 4 = 8 k + 6 (8 k + 2) = 2 q2 2 p2 soit q2 p2 = 2 qui est impossible.
Ainsi, dans la suite 8 k + 1, 8 k + 2, 8 k + 3, 8 k + 4, 8 k + 5, 8 k + 6, 8 k + 7 les termes de rangs 2 et 6 ne sont pas à la fois nombres d’Einstein. Donc M 5.
On en déduit M = 3 ou M = 4 ou M = 5.
S’il existe 5 nombres d’Einstein consécutifs, ils sont d’une des formes suivantes :
8 k + 1, 8 k + 2, 8 k + 3, 8 k + 4, 8 k + 5 8 k + 2 = 2 p2 et 8 k + 4 = 4 q (1) ou 8 k + 3, 8 k + 4, 8 k + 5, 8 k + 6, 8 k + 7 8 k + 4 = 4 p et 8 k + 6 = 2 q2 (2) (2) est impossible car on aurait 8 k + 5 = 8 k + 6 – 1 = 2 q2 – 1 soit 2 q2 = 8 k + 6 ou q2 = 4 k + 3.
Il reste : E = ( 8 k + 1, 8 k + 2, 8 k + 3, 8 k + 4, 8 k + 5 ) avec 8 k + 2 = 2 p2 et 8 k + 4 = 4 q c’est à dire E = (2 p2 – 1, 2 p2, 8 k + 3, 4 q, 4 q + 1).
Or parmi 5 entiers consécutifs il y a au moins un multiple de 3.
Ce n’est pas 2 p2 – 1 qui n’est jamais multiple de 3, ce n’est pas 2 p2 sinon p = 3 entraînerait E = (17, 18, 19, 20, 21) qui ne convient pas [seuls 18 et 20 sont des nombres d’Einstein], ce n’est pas 4 q sinon q = 3 entraînerait E = (9, 10, 11, 12, 13) qui ne convient pas et ce n’est pas 4 q + 1 sinon 2 p2 = (4 q + 1) – 3 serait aussi multiple de 3 et on retombe sur le cas p = 3.
Le seul multiple de 3 possible est 8 k + 3 qui est donc égal soit à 3 r2 soit à 9 r où r est premier.
On a donc soit E = (2 p2 – 1, 2 p2, 3 r2, 4 q, 4 q + 1) (3) soit E = (2 p2 – 1, 2 p2, 9 r, 4 q, 4 q + 1). (4)
(3) entraînerait 2 p2 + 1 = 3 r2 équation diophantienne qui a des solutions, mais encore faut-il que 2 p2 – 1 soit un nombre d’Einstein. Les contraintes sont bien fortes...
Regardons plutôt du côté de (4) : E = (2 p2 – 1, 2 p2, 9 r, 4 q, 4 q + 1).
Parmi 5 entiers consécutifs il y a au moins un multiple de 5.
Ce n’est pas 2 p2 – 1 qui n’est jamais multiple de 5, ni 2 p2 car p = 5 entraîne E = (49, 50, 51, 52, 53) qui ne convient pas. Ce n’est pas 9 r, car r = 5 donne E = (43, 44, 45, 46, 47) qui ne convient pas.
Ce n’est pas 4 q, car q = 5 donne E = (17, 18, 19, 20, 21) qui ne convient pas.
Il ne reste que 4 q + 1 qui est donc égal soit à 5 s2 soit à 25 s où s est premier.
Privilégions 25 s car E = (2 p2 – 1, 2 p2, 9 r, 4 q, 5 r2) exigerait 2 p2 + 3 = 5 r2 qui a de rares solutions.
Nous examinons donc de manière privilégiée E = (2 p2 – 1, 2 p2, 9 r, 4 q, 25 s).
Il faut que 2p2 – 1 soit de la forme x y2 avec x et y non multiples de 2 à cause de 2 p2, non multiples de 3 à cause de 9 r et non multiples de 5 à cause de 25 s.
Le plus simple et le plus probable est d’essayer 2p2 – 1 de la forme 49 t où t est premier.
Résumons :
Des candidats probables sont E = (49 t, 2 p2, 9 r, 4 q, 25 s) où p, q, r, s sont premiers.
La recherche informatique sera facilitée par le fait que 2 p2 doit être congru à 1 modulo 49, à –1 modulo 9, et à –3 modulo 25. [p étant premier impair implique automatiquement 2 p2 + 2 = 4 q].
La résolution du système de congruence [p2 impair, congru à 4 modulo 9, congru à 11 modulo 25, et congru à 25 modulo 49] donne modulo 2 9 25 49 = 22050 :
p congru à 1181, 3719, 4219, 9119, 12931, 17831, 18331, ou 20869 modulo 22050 Un programme de recherche (avec le logiciel MAPLE) donne la solution :
10 093 613 546 512 321 = 72 205 992 113 194 129 10 093 613 546 512 322 = 2 71 040 8812
10 093 613 546 512 323 = 32 1 121 512 616 279 147 10 093 613 546 512 324 = 22 2 523 403 386 628 081 10 093 613 546 512 325 = 52 403 744 541 860 493.
qui prouve qu’on peut trouver au plus 5 nombres d’Einstein consécutifs.
La solution ci-dessus n’est pas nécessairement la plus petite.
