Enoncé A421 (Diophante) Le pluviomètre de Zig
Zig dispose d’un pluviomètre en forme de tronc de pyramide droite dont les bases sont carrées et dont les treize dimensions (les 12 arêtes et la hau- teur) sont des nombres entiers de centimètres. L’ouverture (vers le haut) est du côté du grand carré. Les graduations du pluviomètre permettent de mesurer en nombre entier de millimètres la quantité de pluie qui est tombée sur une période donnée.
Lundi soir, Zig vide son pluviomètre. Mardi matin il constate que la hau- teur d’eau contenue dans son instrument est sept fois la hauteur d’eau tombée pendant la nuit, chacune des deux hauteurs étant mesurée en nombre entier de millimètres, puis il mesure la quantité d’eau contenue dans le pluviomètre qui est égale exactement à 98 cm3.
Zig demande à Puce de lui donner les treize dimensions du pluviomètre ainsi que la hauteur d’eau tombée pendant la nuit. Comment ce dernier parvient-il à mener à bien ses calculs ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient les mesures en millimètres (nombres entiers) : h hauteur du plu- viomètre, a côté du carré constituant le fond, a+ 2b côté de l’ouverture carrée,darête latérale du tronc de pyramide, eeau tombée.
b est entier (et non demi-entier) car (1) d2 =h2+ 2b2, d2−h2 est entier et non demi-entier.
Au niveau du plan d’eau dans le pluviomètre, celui-ci a pour section un carré de côté ax. A mi-hauteur de la partie occupée par l’eau, la section a pour côté a(1 +x)/2 et, par la formule des trois niveaux, le volume correspond à la section moyennea2(1 +x+x2)/3, et vaut (hauteur 7e) (2) 98000 = 7ea2(1 +x+x2)/3.
C’est aussi le volume de pluie capté par l’ouverture (3) 98000 =e(a+ 2b)2.
axest fonction linéaire du niveau d’eau, valant apour une hauteur nulle eta+ 2bpour une hauteur h, d’où
(4)ax=a+ (2b)(7e)/h.
Les 13 dimensions à calculer par Puce sonta, a+ 2b, d(4 fois chacune) et h.
Comme 98000 = 24·53·72, l’équation (3) montre que le facteur premier 5 a un exposant impair danseet est le seul dans ce cas :e= 5f2, avecf diviseur de 140 cara+ 2b= 140/f.
xn’est pas entier, mais par l’équation (4)axhl’est :axh=ah+ 14be. Les équations (2) et (3) donnent
(5) 98000h2/e=h2(a+ 2b)2 = 7(a2h2+ 14ahbe+ 196b2e2/3).
Cela montre d’abord que 3 doit diviserb, car les autres termes sont entiers et 3 ne peut divisere, diviseur de 98000.
Si 7 ne divise pash, il divise a+ 2b, et doit avoir un exposant pair dans chaque membre. Ce n’est possible dans le membre de droite que si l’expo- sant de 7 dans aest le même que dans 7be, mais alors l’exposant dans le membre de droite est strictement supérieur à celui dans 98000h2.
Il faut donc que h= 7g,gentier. D’autre part, 2b2 = (d+h)(d−h) est le produit pair de deux facteurs de même parité, b doit être pair et on peut poser b= 6m. L’équation (5) devient
g2(a+ 12m)2 = 7a2g2+ 84agem+ 336e2m2 = 21(ag+ 8em)2/4 + 7a2g2/4 et se résout en
ag+ 8em=g s
4(a+ 2b)2−7a2 21
Cela exige que a+ 2bsoit multiple de 7, soit 7n(n= 20/f est diviseur de 20), et
a+ 8em/g=√
56mn−48m2−7n2.
La condition 56mn−48m2−7n2 carré parfait> a2= (7n−12m)2 limite le choix de m à ndonné :m doit respecter 7−√
7<12m/n <7.
D’où le tableau, où on n’a conservé que les lignes où 56mn−48m2−7n2 est carré parfait ; la connaissance demetgfournitbeth, puisd=√
2b2+h2.
f e n a+ 2b m a b g h d
1 5 20 140 10 20 60 10 70 110
2 20 10 70 5 10 30 40 280 −
5 125 4 28 2 4 12 250 1750 −
10 500 2 14 1 2 6 1000 7000 −
La conditiondentier conduit à la solution unique : ouverture carrée de côté 140 mm, fond carré de côté 20 mm, hauteur 70 mm, arêtes latérales de 110 mm. La pluviométrie était de 5 millimètres, remplissant le pluviomètre à mi-hauteur (35 mm).
