D645. Le défi de Zig
Problème proposé par Claudio Baiocchi à partir d’un problème repéré sur le beau site Geométriagon.
Puce vient de tracer trois figures :
- 1ère figure : un triangle ABC puis les trois médiatrices des côtés AB,BC et CA ainsi qu’un carré qui a la même surface que le triangle,
- 2ème figure : un triangle DEF et un point G à l’intérieur du côté EF puis les quatre médiatrices des segments DE,EG,GF et FD,
- 3ème figure : un quadrilatère PQRS et les quatre médiatrices des côtés PQ,QR,RS et SP
Quand Puce a le dos tourné, Zig efface les sommets et les côtés des triangles ABC et DEF ainsi que les sommets et les côtés du quadrilatère PQRS mais laisse intacts toutes les médiatrices et le carré.
Il met Puce au défi de reconstituer les points A,B,C puis D,E,F,G et enfin P,Q,R,S.
Dans quels cas Puce est-il en mesure de relever le défi avec une règle et un compas ? Justifier vos réponses.
Solution proposée par l’auteur
Le cas de la 1ère figure
Zig a présenté à Puce un carré et trois droites concourantes en un point qu’on va appeler , centre du cercle circonscrit. De plus on va supposer que Zig, ayant attribué à chaque droite un nom permettant de savoir de quel côté cette droite est la médiatrice, a eu la bienveuillance de ne pas effacer ces noms. Ici on fera usage des notations pour indiquer les médiatrices de respectivement; cette notation, sûrement trop lourde dans le cas des triangles, a l’avantage de s’adapter sans difficulté au cas des quadrilatères.
On remarquera que la donnée de l’aire du triangle cherché est indispensable car, sans elle, le problème est invariant par homothéties centrées en ; toutefois cette donnée n’est pas
complètement suffisante: on aboutira en fait à deux solutions, le problème étant invariant aussi par rapport à une rotation de 180° autour de .
Pour ce qui concerne la recherche des solution on va faire usage de la transformation qui à tout point associe le point symétrique de par rapport à la droite on écrira et de façon analogue on définit les transformations .
On est en particulier intéressé à la transformation composée, qu’on appellera , définie par la
formule ; elle admet évidemment comme point fixe et, comme produit de trois symétries, elle doit être une symétrie par rapport à une droite passant par plus
précisément il s’agit de la symétrie par rapport à la droite de puisque le point , qui se transforme suivant les passages , est aussi un point fixe.
On a donc un procédé constructif pour tracer une droite qui, la condition sur l’aire mise à part, est le lieu des possibles sommets : on part d’un quelconque point autre que ; moyennant trois
symétries on évalue et on trace la droite joignant O au point-milieu du segment La construction d’une solution est désormais immédiate: on part d’un point sur cette droite et on pose ; pour une convenable valeur l’homothétie centrée en
de facteur transforme le triangle en un triangle qui satisfait aussi la condition sur l’aire.
Remarques
Toute permutation cyclique sur les noms des médiatrices correspondra à une permutation cyclique des noms des sommets; tout échange entre deux médiatrices correspondra à un échange entre deux sommets. En particulier, si Zig efface les noms des médiatrices, Puce choisira ces noms n’importe comment et sa reconstruction sera affectée uniquement par une permutation des noms des sommets.
Si on veut admettre que Zig puisse choisir un triangle dégénéré, il faudra de toute façon demander que les trois sommets soit distincts, sinon la notion de médiatrice perd de sens.
Donc le seul cas dégénéré que Zig peut choisir est un triangle plat, ce qui correspond à trois médiatrices parallèles; et le carré équivalent dégénère en un point. La composition de trois symétries dont les axes sont parallèles est encore une symétrie, par rapport à un axe parallèle aux trois autres; maintenant le problème est invariant par translation et on aboutit à une infinité de solutions.
Le cas de la 2ème figure
Ici Puce voit quatre droites, nommées , dont les deux dernières sont parallèles. Pour ce qui concerne le tracement des solutions on va remplacer le nom utilisé pour la 1ère figure (nom choisi en tant que lettre initiale de symétrie) par le nom : en fait, comme résultat de la
combinaison de quatre symétries, on doit s’attendre une rotation. Par exemple, si l’on choisissait , le sommet sera un point fixe de et, à partir de ce sommet, en appliquant les quatre symétries dans le même ordre utilisé pour construire , on peut trouver le quadrilatère tout entier.
La construction d’un point fixe de est un peu plus compliquée que celle de la symétrie utilisée pour la 1ère figure: partant d’un point quelconque, on évalue si il s’agit du point cherché; sinon on répète les opérations, construisant l’image d’un autre point . Si on a gagné; sinon, le centre de rotation doit être à la fois sur l’axe du segment et sur l’axe du segment ; pour éviter toute malchance (ces deux axes pourraient coïncider…) il suffit de choisir sur l’axe du segment .
Le procédé est sûrement trop compliqué; en particulier on pourrait remarquer que l’effet combiné de (les deux symétries les plus externes de ) est tout simplement une translation, de direction orthogonale aux deux médiatrices et dont l’ampleur est le double de la distance entre ces médiatrices; tandis que l’effet combiné de est une rotation autour du point commun aux deux médiatrices et dont l’ampleur est deux fois l’angle entre les médiatrices; ce qui, comme on voit dans les images suivantes, simplifie beaucoup la recherche du point fixe de .
A gauche on a tracé en cyan le quadrilatère à récupérer et en rouge les médiatrices, dont on n’a pas tracé les noms pour ne pas alourdir la figure. Puce, voyant ces médiatrices et leurs noms, connait l’ampleur et l’orientation de l’angle qui fait passer de à ; ainsi que la distance orientée de la translation qui fait passer de à .
A droite, de l’image de gauche Puce a retenu les grandeurs orientées et et (partie droite de l’image, où on a supprimé quadrilatère et médiatrices) a tracé par (intersection de et ) une parallèle à . De côté et d’autre de cette parallèle Puce trace un angle d’ampleur et 0une bande de largeur . Le point marqué par la lettre est ramené en par la rotation ; et revient en grâce à la translation. et sont donc deux des sommets cherchés.
Naturellement l’obtention des deux autres sommets est immédiate; par ailleurs rien n’empêche de partir en recherchant les sommets et récupérer ensuite : il suffit de remplacer la rotation par et la décomposition par ce qui correspond au produit de deux rotations, d’ampleurs autour des points de l’image de gauche:
et à droite on construit le point qui, ramené d’abord en par la rotation autour de , revient sur sa position de départ grâce à l’autre rotation.
Remarque Si Zig avait décidé d’effacer les noms des médiatrices la situation serait ici plus compliquée que dans le cas de la 1ère figure:
un deuxième quadrilatère, (tracé en rouge, lui aussi dégénéré) admet les mêmes médiatrices du quadrilatère cyan. On remarquera qu’il ne s’agit pas d’une rotation du premier quadrilatère.
De plus, si l’on n’a pas le renseignement assurant que les deux médiatrices parallèles sont contiguës, on trouve aussi une troisième solution (quadrilatère interlacé).
Le cas de la 3ème figure. Cas pathologiques et cas impossibles.
L’instrument essentiel utilisé au cours du précédent paragraphe est la validité de l’hypothèse suivante, dans laquelle on appelle contiguës deux médiatrices relatives à deux côtés contigus du quadrilatère :
Deux médiatrices contiguës se rencontrent en un point ;
les deux autres se rencontrent en un point avec
où rien n’empêche d’ailleurs que un des deux points soit à l’infini. En particulier, lorsque Zig n’efface pas les noms des médiatrices et que ces médiatrices satisfont , Puce gagnera le défi.
Remarque Il existe toutefois des configurations impossibles. Par exemple, dans le cas des triangles, les trois droites doivent avoir un point commun (propre, si le triangle est non dégénéré); pour ce qui concerne les quadrilatères un exemple de configuration impossible se présente en correspondance de deux couples de médiatrices parallèles. Si les médiatrices de chaque couple sont opposées il s’agit d’un quadrilatère (non-rectangulaire) mais, si l’on demande qu’il s’agit de médiatrices contiguës, le problème n’a pas de solution et conduit à la recherche des points fixes d’une translation.
Qu’est-ce qui se passe lorsque n’est pas remplie? Un premier exemple est le cas d’un trapèze isocèle, où une complication supplémentaire est due au fait que les médiatrices des bases sont superposées. Bien entendu Zig nous signalerait la chose fournissant deux noms pour la droite correspondante; mais Puce, après avoir remercié pour la gentillesse, ne pourra que se rendre: il y a trop de solutions, et une donnée supplémentaire (telle que l’aire du polygone dans le cas de la première figure) ne pourra nullement l’aider.
Pour s’en convaincre il suffit de faire quelques épreuves : un point quelconque (choisi en dehors des médiatrices pour éviter une possible dégénérescence) peut être choisi comme sommet! Encore mieux, sans faire aucun essai et se bornant à visualiser la figure: si Zig part d’un carré, il y a une infinité de rectangles ayant les mêmes médiatrices; et parmi ces rectangle il y en a une infinité qui ont aussi la même aire.
Mais quels sont donc les cas pathologiques? La réponse est la négation de la propriété , qui peut se formuler de la façon suivante:
Il existe un point , propre ou impropre, commun aux quatre médiatrices
En fait on pouvait prévoir la chose. Par exemple, si est propre, il est le centre du cercle circonscrit au quadrilatère; la figure est invariante par homothéties centrées en la composition des quatre symétries est encore une rotation mais son ampleur est multiple de 360°, et tout point est point fixe.
D’autre côté, lorsque est impropre, la composition des quatre symétrie est une translation d’ampleur nulle et encore tout point est point fixe.
On termine en soulignant que, dans le cas des quadrilatères, l’absence des noms des médiatrices donne lieu à des violentes difficultés, qui pourraient être objet d’un problème à part; dans la figure suivante, à gauche ainsi qu’à droite, on a trois quadrilatères ayant les mêmes médiatrices.
