D274 - La saga des polygones inscriptibles (2ème épisode) Problème proposé par Claudio Baiocchi
On s’intéresse aux quadruplets {a, b, c, d} de nombres réels strictement positifs tels qu’il existe une quadrilatère convexe ayant ces nombres comme mesures des côtés, ce quadrilatère étant inscriptible dans le demi-cercle de diamètre d.
Montrer qu’il existe un polynôme P(x) de degré 3, à coefficients dépendants de a, b, c tel que le diamètre d satisfait P(d) = 0. Donner une description paramétrique des quadruplets.
Pour les plus courageux, discuter les cas où: 1) a, b, c, d sont commensurables, 2) d et les diagonales sont commensurables, 3) a, b, c, d et les diagonales sont commensurables.
Soit un quadrilatère convexe ABCD de diamètre DA. Notons AB = a, BC = b, CD = c; DA = d.
Notons 2 l'angle AOB, 2 l'angle BOC, 2 l'angle COD.
On a :
sin = a / d, sin = b / d, sin = c / d Mais sin = cos ( + ) = cos cos – sin sin
Donc :
cos cos = sin sinsinab / d² + c /d = (ab + cd) / d²
En élevant membre à membre au carré on se ramène à des sinus dont on connaît l'expression en fonction de a, b, c, d.
En simplifiant, il vient :
d3 – (a² + b² + c²) d – 2 abc = 0
Le polynôme P(x) de degré 3, à coefficients dépendants de a,b,c tel que le diamètre d satisfait P(d) = 0 est donc :
P(x) ≡ x3 – (a² + b² + c²) x – 2 abc.
Une expression paramétrique possible des quadruplets (peut-être pas la plus élégante) consiste à utiliser les paramètres , d :
a = d sin ; b = d sin ; c = d cos(+).
Si a, b, c, d sont commensurables, c'est que leurs rapports deux à deux sont des rationnels.
Donc : a = a' r, etc. où a' b' c' d' sont rationnels et r réel quelconque.
Or la relation :
d3 – (a² + b² + c²) d – 2 abc = 0 est homogène en a b c d.
En la divisant par r, il vient :
d'3 – (a'² + b'² + c'²) d' – 2 a'b'c' = 0
En multipliant par le PPCM des dénominateurs de a' b' c' d', il vient : d"3 – (a"² + b"² + c"²) d" – 2 a"b"c" = 0
où a" b" c" d" sont des entiers.
La question est donc de savoir quelles solutions entières (ou, à tout le moins rationnelles; il suffira de tout multiplier par un facteur convenable) en a, b, c, d peut avoir l'équation
d3 – (a² + b² + c²) d – 2 abc = 0
Elle en a au moins une évidente : celle obtenue quand le quadrilatère ABCD est un demi- hexagone. On a alors : a = b = c = 1 et d = 2 (et toute solution homothétique).
En a-t-elle d'autres?
L'expression paramétrique ci-dessus
a = d sin ; b = d sin ; c = d cos(+).
peut aider à trouver, sinon toutes les solutions, du moins des solutions.
Une certitude est que sin et sin doivent être rationnels. Comme cos(+) = cos cos – sin sin doit l'être aussi, il faut et suffit que cos cossoit rationnel.
Posons donc : sin = p/q sin = p'/q' On aura :
cos² cos² = (q²–p²) (q'²–p'²) / q² q'²
Le dénominateur ne pose pas de problème. La condition se résume donc à ce que : d rationnel
a = d p/q b = d p'/q'
avec (q²–p²) (q'²–p'²) = un carré.
C'est en particulier le cas si .
Exemple : d=9
sinsin = 1/3 a = b = 3
c = 7
Le quadruplet 3, 3, 7, 9 répond à la question.
Il existe aussi des solutions où ≠ car il existe des quadruplets p, q, p', q' qui satisfont la condition que (q²–p²) (q'²–p'²) soit un carré.
Un exemple est : p =2 q = 7 p' = 4 q' = 6.
Avec ces valeurs et d = 42, on trouve la solution : d = 42
a = 12 b = 28 c = 22.
Nota : si l'on ne demande pas que a, b, c, d soient rationnels mais seulement commensurables, on peut multiplier les 4 valeurs par un même réel.
Si d et les diagonales sont commensurables1 comme les carrés des diagonales sont d² – a² et d² – c², et que leurs expressions paramétriques sont d² – a² = d² cos² et d² – c² = d² sin²(+), le problème est le même que le précédent avec les sinus remplacés par des cosinus et vice- versa.
Si a, b, c, d et les diagonales sont commensurables2, tant sinetsinque cosetcosdoivent être rationnels.
1 Nous traiterons tout d'abord du cas où ces nombres sont rationnels et reviendrons au cas "commensurable" in fine.
2 même remarque
Ainsi, si sin= p/q, p et q doivent être deux termes d'un triplet pythagoricien (q étant le plus grand). Par exemple : sin= 3/5; cos= 4/5. De même pour sin= p'/q'.
Mais alors cos(+) = cos cos – sin sin sera également rationnel.
Exemple :
sin= 3/5; cos= 4/5 sin= 5/13; cos= 12/13 cos(+) = 33/65.
Et donc, d = 65 a = 39 b = 25 c = 33
est une solution, avec pour valeur des diagonales : BD = 52
CA = 56.
Nota : ici encore, si l'on ne demande pas que a, b, c, d et les diagonales soient rationnels mais seulement commensurables, on peut multiplier les 4 valeurs par un même réel : les diagonales le seront aussi.
