Problème proposé par Claudio Baiocchi
Tout le monde sait qu’un trapèze isocèle est toujours inscriptible mais comment caractériser le cas où la base majeure coïncide avec le diamètre d du cercle circonscrit? On note a le côté oblique et b la base mineure et on examine successivement les cas où a, b et d sont : A) réels B) entiers et C) rationnels.
A) Trouver le polynôme P de degré 2 tel que tout triplet {a,b,d} satisfait la relation P(a,b,d) = 0.
B) Donner une représentation paramétrique des triplets primitifs (à savoir : a, b et d sont sans facteurs communs) et montrer que d ou 2d est un carré parfait.
C) Caractériser les triplets tels que les diagonales et/ou la hauteur sont aussi rationnelles.
A) Si t désigne l’angle sous lequel le centre du cercle voit le coté oblique, a=dsin(t/2), b=dcost, cost=1-2sin2(t/2), donc bd=d2-2a2 ou 2a2=d(d-b). P(a,b,d)=2a2+bd-d2=0.
B) Si d et b étaient pairs, d-b également, et 2a serait divisible par 4, donc a pair, et a, b d auraient un facteur commun, ce qui est contraire à l’énoncé; de même, d et b ne peuvent avoir un facteur commun impair, puisqu’il diviserait a ; donc b et d sont premiers entre eux ; si d est pair, b est impair, a2=(d/2)(d-b), d/2 et d-b sont des carrés ; si d est impair, b est impair, d et (d-b)/2 sont des carrés. Donc a=pq, et d=p2 , b=p2-2q2 ou d=2p2, b=2p2-q2.
C) Soient h et c les longueurs de la hauteur et de la diagonale : en multipliant par le ppcm des dénominateurs, on peut se ramener au cas où a, b, d, h, c sont entiers. Puisque la grande base est un diamètre, d2=a2+c2, et puisque le symétrique d’un sommet de la petite base par rapport à la grande est diamétralement opposé à l’autre d2=b2+4h2. Donc, c (resp. h) est entier si le triplet (c,a,d) (resp. (b,2h,d)) est pythagoricien.
