D273 - La saga des polygones inscriptibles (1er épisode)
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Tout le monde sait qu’un trapèze isocèle est toujours inscriptible mais comment caractériser le cas où la base majeure coïncide avec le diamètre d du cercle circonscrit? On note a le côté oblique et b la base mineure et on examine successivement les cas où a, b et d sont : A) réels B) entiers et C) rationnels.
A) Trouver le polynôme P de degré 2 tel que tout triplet {a,b,d} satisfait la relation P(a,b,d) = 0.
B) Donner une représentation paramétrique des triplets primitifs (à savoir : a, b et d sont sans facteurs communs) et montrer que d ou 2d est un carré parfait.
C) Caractériser les triplets tels que les diagonales et/ou la hauteur sont aussi rationnelles.
Solution (partielle) proposée par Patrick Gordon
Question A
Le rayon du cercle est d/2. AD = BC = a; CD = b.
En appelant l'angle en A, on a, dans le triangle ODA : a = d cos
et, par ailleurs, dans le triangle ODC : b = d cos (π – 2 – d cos 2
D'où, en simplifiant :
2a² – d² + db = 0.
Question B
Dans cette question, a, b, d sont entiers.
La relation ci-dessus entre a, b et d s'écrit aussi : 2a² = d (d – b).
Ainsi, d et (d–b) doivent "se partager" les facteurs de 2a², ce qui permet une résolution pour diverses valeurs de a.
On trouve des triplets très divers dont voici quelques exemples :
a 1 2 3 15
d 2 8 9 50
b 1 7 7 41
2a² - d² + db 0 0 0 0
Nous ne trouvons pas de formule paramétrique propre à les représenter tous.
Nous sommes en revanche en mesure de montrer que d ou 2d est un carré parfait.
Nous disions plus haut que d et (d–b) doivent "se partager" les facteurs de 2a². Ils sont tous en nombres pairs, sauf le facteur 2, dont nous traiterons in fine.
Soit donc a = p q… la décomposition de a en facteurs premiers.
Concentrons-nous sur le facteur p; le raisonnement vaudra pour tous les facteurs.
Comme a² = p2on aura nécessairement :
d = (2) p'
d – b = (2) p2'
la notation (2) voulant dire que soit l'un soit l'autre comportera le facteur 2.
Dès lors, dans l'écriture de b, qui vaut d – (b–d), on pourra mettre p en facteur avec l'exposant
" = min ['; 2'].
Si ' < , alors " = ' et, comme le facteur p figure avec ce même exposant ' dans d (et dans a avec un exposant de toutes façons supérieur), ce facteur disparaîtra dans la réduction du triplet a, b, d à un triplet primitif.
Si ' > , alors " = 2' < ' et, comme le facteur p figure avec l'exposant ' dans d (et dans a avec un exposant de toutes façons supérieur), c'est 2' qui sera mis en facteur dans la réduction du triplet a, b, d à un triplet primitif et il ne restera donc comme exposant de d que ' – (2') = 2 (' – c'est à dire que p figurera à une puissance paire.
Ainsi, d ne comportera que des facteurs premiers à des puissances paires. Selon qu'il comporte ou non le facteur 2 de 2a², c'est 2d ou d qui sera un carré parfait.
Question C
La hauteur h et la diagonale (la lettre d étant prise, nous la noterons f) sont faciles à calculer.
En écrivant de deux manières le double de l'aire du triangle ABC (qui est rectangle), il vient : dh = af,
ou encore : h = af / d.
Mais, par ailleurs, on a (dans ce même triangle rectangle ABC) : f² = d² – a².
La condition pour que h soit un nombre rationnel est donc la même que la condition pour que f soit un nombre rationnel, c’est-à-dire que d² – a² soit le carré d'un nombre rationnel.
Si d et a sont des entiers, il est facile de trouver des solutions. Si d et a sont des rationnels, le problème de l'égalité à un carré se posera pour la différence des carrés des numérateurs des deux fractions réduites au même dénominateur.
