D 274. La saga des polygones inscriptibles. 2ème épisode.
Problème proposé par Claudio Baiocchi
On s’intéresse aux quadruplets {a, b, c, d} de nombres réels strictement positifs tels qu’il existe une quadrilatère convexe ayant ces nombres comme mesures des côtés, ce quadrilatère étant inscriptible dans le demi-cercle de diamètre d.
Montrer qu’il existe un polynôme P(x) de degré 3, à coefficients dépendants de a, b, c tel que le diamètre d satisfait P(d) = 0. Donner une description paramétrique des quadruplets.
Pour les plus courageux, discuter les cas où : 1) a, b, c, d sont commensurables,
2) d et les diagonales sont commensurables, 3) a, b, c, d et les diagonales sont commensurables.
Solution de D 274.
Utilisons les notations de la figure 1 ci-dessous :
On a : sin ( / 2) = a / d sin ( / 2) = b / d sin ( / 2) = c / d cos ( / 2) = 1 22
d
a cos ( / 2) = 1 22 d
b cos ( / 2) = 1 22 d
c (1) Comme / 2 = / 2 – ( + ) / 2 on tire :
sin ( / 2) = cos (( + ) / 2) = cos ( / 2) cos ( / 2) – sin ( / 2) sin ( / 2) En utilisant (1), on obtient :
c / d = 2
2
1 d
a 1 22 d
b – (a / d) (b / d) (2)
qui s’écrit encore : 2 d
cd ab
2 2
1 d
a 1 22 d
b et qui, après élévation au carré donne le polynôme voulu :
P (d) = d 3 – (a2 + b2 + d2 ) d – 2 abc = 0 (3)
D’après ce qui précède, a = d sin ( / 2) b = d sin ( / 2) c = d sin ( / 2) = d cos (( + ) / 2) Donc on peut paramétrer les solutions ainsi :
Les quadruplets solutions sont (a, b, c, d) = d (sin (u), sin (v), cos (u+v), 1) où d est un réel positif et où u, v vérifient 0 < u 0 < v u + v < / 2.
Q1) a, b, c, d sont commensurables s’ils sont tous entiers (à un facteur positif près).
(3) s’écrit (ab + cd)2 = (d2 – a2) (d2 – b2) a
b
c
Figure 1
diamètre d
On est donc amené à chercher tous les quadruplets d’entiers naturels positifs tels que (ab + cd)2 = (d2 – a2) (d2 – b2) (4)
Si par exemple d = 16 on trouve en essayant toutes les valeurs 0 < a < b < d = 16 que pour a = 2 et b = 9 on a d2 – a2 = 7 62 d2 – b2 = 7 52 donc d’après (4) :
ab + cd = 5 6 7 = 210 d’où c = (210 – ab) / d = 192 / 16 = 12 donnant la figure 3 ci-dessous.
Remarques :
La plus petite solution entière qui n’est pas un demi-hexagone est :
La plus petite solution entière avec a, b, c, d tous distincts est :
On a une infinité de solutions entières comme :
Les demi-hexagones : (k, k, k, 2k) k entier
(k, k, 2k2 – 1, 2k2) k entier [exemple (2, 2, 7, 8) ci-dessus].
(2k2 – 1, (k+1)(2k+1) , (k+1)(2k+1), (2k+1)2) k entier (2k + 1, 2k + 1, (2k+1)2 – 2, (2k+1)2) k entier etc.
Q2) Pour avoir d et les deux diagonales commensurables, il suffit de prendre trois entiers u, v, d tels que 0 < u < d 0 < v < d u2 + v2 > d2 cette dernière condition garantissant le croisement des deux
diagonales.
On aura alors la figure 6 ci-dessous : 2
2
7
8
Figure 2 Figure 2
2
9 12
16
Figure 3
d
Figure 6 u v
a
b
c
Q3) Avec les notations de la figure 1, les deux diagonales mesurent respectivement : D1 = d sin (( + ) / 2) =
d
a d b b d
a 2 2 2 2
D2 = d sin (( + ) / 2) = d sin (( ) / 2) = d cos ( / 2) = d2 a2
On aura donc a, b, c, d et les deux diagonales commensurables si (à un facteur positif près) : (d2 – a2) et (d2 – b2) sont des carrés parfaits.
Cela revient à résoudre l’équation diophantienne d2 = a2 + x2 = b2 + y2 (5)
L’identité de Lagrange (m2 + n2) (p2 + q2) = (mp + nq)2 + (mq np)2 = (mq + np)2 + (mp nq)2
permet de trouver une infinité de solutions de (5) car si d peut s’écrire de deux manières comme somme de deux carrés, il en est de même pour d2 et on a une solution de (5).
Exemple : d = 65 = 82 + 12 = 72 + 42 donne 652 = 252 + 602 = 392 + 522 Donc a = 25 x = 60 b = 39 y = 52 est solution de (5).
c s’obtient d’après (2) par c =
d
ab b
d a
d )( )
( 2 2 2 2
= d
ab xy
= 33.
Enfin, les diagonales mesurent : D1 =
d bx ay d
a d b b d
a 2 2 2 2
= 56 D2 = d2 a2 = x = 60
donnant la figure 4 ci-dessous :
On a de même : 25
39
33
65
Figure 4 56 60
51
40
36
85
Figure 5 77 75
