A566. Rendez-vous manqués
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Puce est tout fier de montrer à Zig sa solution de la deuxième énigme de la rubrique A1867- Bienvenue à 2016 dans laquelle il s'agit de trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2016.
Zig pose alors à Puce les questions suivantes:
Q1 Sais-tu trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2015? Des carrés parfaits dont les sommes des chiffres sont respectivement égales aux dix entiers allant de 2017 à 2026?
Q2 Un entier quelconque n étant donné, on dit qu'il est au rendez-vous des carrés s' il existe un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à n. Sais-tu dire quels sont les entiers dont le rendez- vous est manqué?
Q3 Même question que Q2 avec les carrés parfaits exprimés en base 2 puis en base 3..
Pouvez-vous aider Puce à répondre à ces trois questions?
Solution proposée par Daniel Collignon Q₁
Condition nécessaire : comme s(n) = n (mod 9), alors s(n²) = n² = s²(n) (mod 9)
Or, les carrés modulo 9 sont 0, 1, 4 et 7.
Ainsi il n'y aura pas de carré parfait pour 2015, 2018, 2019, 2021, 2022, 2024.
Réciproquement on vérifie aisément que pour n>=1 : s((10^n-1)²) = 9n
s((10^n-2)²) = 9n+1 s((10^n-3)²) = 9n+4 s((10^n-5)²) = 9n-2
En posant n=224 ou 225, cela permet ainsi d'illustrer : 2016 = 9*224
2017 = 9*224+1 2020 = 9*224+4 2023 = 9*225-2 2025 = 9*225 2026 = 9*225+1
Q₂
Trivialement, 0, 1 et 4 sont des carrés parfaits.
Le rendez-vous est manqué pour les entiers congrus à 2,3,5,6,8 modulo 9 Q₃
En base 2, on montre que pour n>=1 : s((2^n-1)²) = n Avec 0, tous les entiers sont donc au rendez-vous.
En base 3, on montre que : s((3^n-1)²) = 2n pour n>=1 s((3^n-2)²) = 2n+1 pour n>=2
0 et 1 sont des carrés parfaits.
Montrons que 3 est le seul rendez-vous manqué.
Dans ce qui suit, nous supposons a>b>c>=0
* 3^a+3^b+3^c = x² = 3^c*(3^(a-c)+3^(b-c)+1)
le facteur de droite n'étant pas un multiple de 3, c est nécessairement pair, et alors 3^(a-c)+3^(b-c)+1 = y²
y est alors impair, plus précisément y² = 1 (mod 8), d'où 3^(a-c)+3^(b-c) = 0 (mod 8).
Cela est impossible puisque une puissance de 3 est congrue à 1 ou 3 modulo 8.
* 2*3^a+3^b = x² = 3^b*(2*3^(a-b)+1)
le facteur de droite n'étant pas un multiple de 3, b est nécessairement pair, et alors 2*3^(a-b)+1 = y²
y est alors impair, mais nous aurions y² = 3 (mod 4) (impossible car un carré impair est toujours congru à 1 modulo 4)
* 3^a+2*3^b = x² = 3^b*(3^(a-b)+2)
le facteur de droite n'étant pas un multiple de 3, b est nécessairement pair, et alors 3^(a-b)+2 = y²
Mais nous aurions y² = 2 (mod 3) (impossible car un carré est toujours congru à 0 ou 1 modulo 3)
