A566. Rendez-vous manqués
Problème proposé par Claudio Baiocchi
Puce est tout fier de montrer à Zig sa solution de la deuxième énigme de la rubrique A1867- Bienvenue à 2016 dans laquelle il s'agit de trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2016.
Zig pose alors à Puce les questions suivantes:
Q1 Sais-tu trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2015? Des carrés parfaits dont les sommes des chiffres sont respectivement égales aux dix entiers allant de 2017 à 2026?
Q2 Un entier quelconque n étant donné, on dit qu'il est au rendez-vous des carrés s' il existe un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à n. Sais-tu dire quels sont les entiers dont le rendez- vous est manqué?
Q3 Même question que Q2 avec les carrés parfaits exprimés en base 2 puis en base 3..
Pouvez-vous aider Puce à répondre à ces trois questions?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet Q1 : Un carré parfait est un nombre:
ou congru à 1 (modulo 3) , c'est le cas pour 1 , 4 , 16 , 25 , 49 , 64 ..
ou congru à 0 (modulo 9) , c'est le cas pour 9 , 36 , 81 ...
la propriété doit être conservée , concernant la somme de ses chiffres .
Les nombres 2015 , 2018 , 2019 , 2021 , 2022 & 2024 ne peuvent être la somme des chiffres d'un carré parfait.
2015 --> s = 8 congru à 2 (mod3) ; 2018 --> s = 11 congru à 2 (mod3) ; 2019 --> s = 12 congru à 3 (mod9)
2021 --> s = 5 congru à 2 (mod3) ; 2022 --> s = 6 congru à 6 (mod9) ; 2024 --> s = 8 congru à 2 (mod3)
a) En utilisant les carrés de rep-unit , un seul nombre précité convient : c'est 2026 . En effet 2026 = 2025 + 1 = 81 x 25 + 1
si R(k) = 111...(k fois)...1111 est un rep-unit , alors la somme des chiffres de (111..k fois..111)² est:
S = 81 x E[k/9] + R²[k/9] où E désigne la partie entière de k/9 et R² désigne le carré du reste de la division de k par 9
S = 81 x E[226/9] + R²[226/9] = 81 x 25 + 1 = 2026 = somme des chiffres de (111...(226 fois)...111)²
une autre solution avec 2026 :
2026 = 2019 + 7 = 673 x 3 + 7 , comme 3335² = 111 222 25 ---> 3333..(673 fois)..3335² = 1111...(673 fois)...111 2222...(673 fois)...222 25
b) 2017 = 1992 + 25 = 166 x 12 + 25 --> N² = 6666...(168 fois) ...66661² = 4444...(166 fois)...444 436 8888....(166 fois)...888 921
un exemple avec N² = 661² = 436 921 , puis 6661² = 4 436 8 921 c) 2020 = 2013 + 7 = 671 x 3 + 7 -->
en sachant que 335² = 11 22 25 , 3335² = 111 222 25 ---> 3333..(671 fois)..3335² = 1111...(671 fois)...111 2222...(671 fois)...222 25
d) 2025 = 225 x 9 --> 66² = 4356 ; 666² = 44 3 55 6 ; 6666² = 444 3 555 6
alors : 6666...(225 fois)...666² = 4444...( 224 fois)....444 3 5555....(224 fois)....555 6 e) 2023 = 2016 + 7 = 336 x 6 + 7
en sachant que 65² = 42 25 ; 665² = 4422 25 ; 6665² = 444222 25
alors 6666...(336 fois)...6665² = 4444...(336 fois)...444 2222...(336 fois)....222 25 Q2: Le rendez-vous est manqué pour :
2 , 3 , 5 , 6 , 8 , 11 , 12 , 14 , 15 , 17 , 20 , 21 , 23 , 24 , 26 , 29 ... tous les nombres qui ne sont pas de la forme 3n + 1
dans ce cas le rendez-vous est pris pour : ( 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 ...)
ou les nombres qui ne sont pas de la forme 9n , et le rendez-vous est pris pour ( 9 , 18 , 27 , 36....) Q3: En binaire , tout nombre de la forme 2^k - 1 a pour carré (2^k - 1 )² = 2^(2k) - 2^(k+1) + 1 ex: n = 7 = 2^3 - 1 , alors N = n² = 49 = 2^6 - 2^4 + 1 = 64 - 16 + 1
7 = 1 1 1 b et N = 49 = 110001b --> S = k = 3
autre exemple : 63 = 2^6 - 1 et 63² = 3969 = 2^12 - 2^7 + 1 63 = 111111b et 63² = 111110000001b --> S = k = 6
En écriture binaire tout nombre k appartenant à N est au rendez vous des carrés . En base 3 , on considère tous les nombres carrés parfaits de la forme n² = (3^k - 1)² _k=1 --> n² = 4 = 11 ( base 3 ) ---> S = 2
_k=2 --> n² = 64 = 2 x 3³ + 3² + 1 = 2101 (base3) ---> S = 4 _k=3 --> n² = 676 = 221001 (base3) --> S = 6
_k=4 --> n² = 6400 = 22210001 (base3) --> S = 8 _k=5 --> n² = 58564 = 2222100001 (base 3) --> S = 10
En règle générale les nombres de la forme n² = (3^k - 1)² = 22..(k-1 fois)..22 1 00..(k-1 fois)..00 1 (en base 3)
et S = 2k est la somme de leurs chiffres. Ainsi S est pair.
Pour trouver S impair on se rabat sur les carrés de la forme n² = (3^k - 2)² ainsi avec k=0 et k=1 --> n² = 1 = 1 (base3) --> S = 1
_k=2 --> n² = 49 = 12 11 (base3) --> S = 5 _k=3 --> n² = 625 = 2 12 0 11 (base3) --> S = 7 _k=4 --> n² = 6241 = 22 12 00 11 (base3) --> S = 9 _k=5 --> n² = 58081 = 222 12 000 11 ( base3) --> S = 11
En règle générale , à partir de k > 1 les nombres de la forme n² = (3^k - 2)² = 222..(k-2 fois)..22 12 000..(k-2 fois)..00 11.
et S = 2x(k-2) + 5 est impair .
jusqu'ici , S peut prendre toutes les valeurs de N sauf la valeur 3 . en écriture base 3.
les écritures possibles de n² en base 3 lorsque la somme des chiffres vaut S = 3 .
1) n² = 1 + 3^a + 3^b avec 1 < a < b . n & n² doivent être impairs ( somme de 3 termes impairs) , et dans ce cas ,
n² est congru à 1 (mod9) et n² ne peut pas être un carré parfait.
2) n² = 1 + 3 + 3^b 3) n² = 2 x 3^a + 3^b
En base 3 , S = 3 n'est pas au rendez-vous des carrés .
