Enoncé A566 (Diophante) Rendez-vous manqués
Puce est tout fier de montrer à Zig sa solution de la deuxième énigme de la rubrique A1867-Bienvenue à 2016 dans laquelle il s’agit de trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2016.
Zig pose alors à Puce les questions suivantes :
Q1 Sais-tu trouver un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à 2015 ? des carrés parfaits dont les sommes des chiffres sont respectivement égales aux dix entiers allant de 2017 à 2026 ?
Q2 Un entier quelconque n étant donné, on dit qu’il est au rendez-vous des carrés s’il existe un carré parfait dont la somme des chiffres est égale à n. Sais-tu dire quels sont les entiers dont le rendez-vous est manqué ? Q3 Même question que Q2 avec les carrés parfaits exprimés en base 2 puis en base 3. Pouvez-vous aider Puce à répondre à ces trois questions ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Questions 1 et 2
Il y a impossibilité pour 2015, 2018, 2019, 2021, 2022, 2024, car un carré a pour reste modulo 9 un des entiers 0, 1, 4 ou 7.
Quandnmod 9∈ {0,1,4,7}, la seconde ligne du tableau suivant donne des exemples d’entiers dont la carré an pour somme des chiffres. La dernière ligne en montre l’application aux entiers de 2017 à 2026.
n 9k 9k+ 1 9k+ 4 9k+ 7
10k−1 10k−2 10k−3 10k+1−5 n 2025 2017,2026 2020 2023
k 225 224,225 224 224
Question 3
En toute base,n= 1 est somme des chiffres du carré de la base.
En base 2, tout entiern >1 est au rendez-vous comme somme des chiffres du carré de 2n−1 ; ce carré s’écrit avecn−1 chiffres 1 suivis denchiffres 0 et d’un 1.
En base 3, si n >2 est pair (= 2k), il est au rendez-vous comme somme des chiffres du carré de 3k−1 ; ce carré s’écrit avec k−1 chiffres 2 suivis d’un chiffre 1,k−1 chiffres 0 et d’un 1. 2 est au rendez-vous avec la même formule car 22 = 11.
Sin > 5 est impair (= 2k+ 1), il est au rendez-vous comme somme des chiffres du carré de 3k−2 ; ce carré s’écrit aveck−2 chiffres 2 suivis d’un chiffre 1, un chiffre 2,k−2 chiffres 0 et deux chiffres 1. 5 est au rendez-vous avec la même formule car 32−2 = 7 écrit 21 en base 3, où 212 = 1211.
Le seul rendez-vous manqué en base 3 est n = 3. Un nombre ayant 3 comme somme de ses chiffres paut s’écrire 3a+ 3b+ 1 avec 0≤b ≤a s’il n’est pas multiple de 3 ; sinon, c’est le produit d’une puissance de 3 par un nombre 3a+ 3b+ 1, premiers entre eux. Si le nombre est un carré, ses deux facteurs sont carrés. 3a+ 3b+ 1 est impair, et si c’était un carré, 8 diviserait 3a+ 3b et 3a−b+ 1, expression dont le reste modulo 8 est 2 ou 4 selon la parité dea−b. D’où l’impossibilité.
