1) a) Montrer que, pour tout n∈N∗, l’on aIn= 2n−12n In−1

Les parties II et III sont ind´ependantes de la partie I. On rappelle la formule de Stirling:

n!∼√

2πnn e

n

lorsque n→+∞.

I On pose, pour tout n∈N

I_n = Z π/2

0

cos²ⁿxdx .

1) a) Montrer que, pour tout n∈N^∗, l’on aI_n= ²ⁿ⁻¹_2n In−1. 1) b) En d´eduire la valeur de I_n pour tout n∈N.

1) c) Montrer que

I_n∼ c

√n lorsque n →+∞

o`u cest une constante que l’on calculera.

2) a) Pour quelles valeurs de k∈R l’int´egrale

F(k) = Z 1

0

dx

p(1−x²)(1−k²x²) existe-t-elle?

2) b) Montrer que la fonction F admet en k = 0 un d´eveloppement en s´erie enti`ere dont on exprimera les coefficients en fonction de

u_n= Z 1

0

x²ⁿ

√1−x²dx .

Quel est son rayon de convergence?

2) c) Donner, pour tout n∈N, la valeur de u_n.

Soient (A_n)n≥0 et (B_n)n≥0 deux suites r´eelles telles que

A_n >0 et B_n>0 pour tout n≥0, etA_n ∼B_n lorsque n→+∞. Supposons que la s´erie enti`ere

X

n≥0

B_nxⁿ

1

a pour rayon de convergence 1, et que la s´erie de terme g´en´eral B_n diverge.

3) a) Donner la nature de la s´erie de terme g´en´eral A_n. 3) b) Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere

X

n≥0

A_nxⁿ?

3) c) Montrer que X

n≥0

Anxⁿ∼X

n≥0

Bnxⁿ lorsque x→1⁻.

4) Montrer que

F(k)∼c⁰ln(1−k) lorsquek →1⁻ o`u c⁰ est une constante que l’on calculera.

II

Soient a≥b deux r´eels strictement positifs fix´es. On consid`ere les suites (a_n)n≥0 et (b_n)n≥0 d´efinies par les relations de r´ecurrence

a_n+1 = a_n+b_n

2 , b_n+1 =p

a_nb_n, n ≥1, et par les conditions initiales a₀ =a etb₀ =b.

1) V´erifier quea_n≥b_n >0 pour tout n∈N.

2) a) Etudier la monotonie des suites (a_n)n≥0 et (b_n)n≥0 et en d´eduire qu’elles convergent.

2) b) Montrer que les suites (a_n)n≥0 et (b_n)n≥0 ont la mˆeme limite strictement positive, qui sera not´ee µ(a, b).

Pour tout n∈N, on pose dn=√

an−√ bn.

3) a) Montrer, pour tout n∈N, la double relation √

an+1−p bn+1

2

≤an+1−bn+1 ≤ ¹₂√

an−p bn

2

.

3) b) Montrer qu’il existe une constante r ∈]0,1[ que l’on pr´ecisera telle que d_n ≤rⁿd₀, pour toutn ∈N.

2

4) Montrer qu’il existe une constante C > 0, qu’on ne demande pas de calculer, telle que, pour tout n∈N

a_n−µ(a, b)≤Crⁿ, et µ(a, b)−b_n≤Crⁿ.

III

Pour tout couple (a, b) de r´eels strictement positifs, on pose

E(a, b) = Z π/2

0

√ dθ

a²cos²θ+b²sin²θ . 1) Montrer que l’int´egrale E(a, b) est bien d´efinie.

2) Montrer que

E(a, b) = Z +∞

0

dt

p(t²+a²)(t²+b²)

(on transformera l’int´egraleE(a, b) par le changement de variables d´efini par t =btanθ).

3) a) Montrer que l’application

φ: t7→φ(t) = ¹₂

t− ab t

d´efinit un C¹-diff´eomorphisme de R^∗₊ sur R (c’est `a dire une bijection de classe C¹ dont la bijection r´eciproque est ´egalement de classe C¹).

3) b) En effectuant le changement de variables u = φ(t) dans l’int´egrale ci-dessus, montrer que

E(a, b) = E

a+b 2 ,√

ab

.

3) c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede la valeur de E(a, b) en fonction de µ(a, b).

IV

En utilisant le r´esultat du I-4), d´eterminer un ´equivalent deµ(a, b) lorsque b →0⁺, a >0 ´etant fix´e.

FIN 3